什么是卷积？

article/2025/9/12 6:57:20

理解1：

作者：果程C
链接：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/50940942
来源：知乎
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对于初学者，我推荐用复利的例子来理解卷积可能更好理解一些：

小明存入100元钱，年利率是5%，按复利计算（即将每一年所获利息加入本金，以计算下一年的利息），那么在五年之后他能拿到的钱数是 $100(1+5\%)^5$ ，如下表所示：

&amp;lt;img src="https://pic2.zhimg.com/5fa86c80c31dd277d038527555aa4d75_b.jpg" data-rawwidth="1293" data-rawheight="95" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1293" data-original="https://pic2.zhimg.com/5fa86c80c31dd277d038527555aa4d75_r.jpg"&amp;gt; 将这笔钱存入银行的一年之后，小明又往银行中存入了100元钱，年利率仍为5%，那么这笔钱按复利计算，到了第五年，将收回的钱数是 $100(1+5\%)^4$ ，我们将这一结果作为新的一行加入上面的表格中：
&amp;lt;img src="https://pic4.zhimg.com/39f37df8c96d7219cba5d081919a3a2f_b.jpg" data-rawwidth="1296" data-rawheight="134" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1296" data-original="https://pic4.zhimg.com/39f37df8c96d7219cba5d081919a3a2f_r.jpg"&amp;gt; 以此类推，如果小明每年都往银行中存入新的100元钱，那么这个收益表格将是这样的：
&amp;lt;img src="https://pic2.zhimg.com/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_b.jpg" data-rawwidth="1296" data-rawheight="284" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1296" data-original="https://pic2.zhimg.com/cfe98b9d33640fae02a21bf369f0459d_r.jpg"&amp;gt; 可见，最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和，即：
&amp;lt;img src="https://pic3.zhimg.com/fba65159d3472936979002b01b606a0e_b.jpg" data-rawwidth="1077" data-rawheight="124" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1077" data-original="https://pic3.zhimg.com/fba65159d3472936979002b01b606a0e_r.jpg"&amp;gt; 用求和符号来简化这个公式，可以得到：
$\sum_{i=0}^{5}{f(i)g(5-i)}, \mathrm{where} \ f(i)=100, g(5-i) = (1.05)^{5-i}$
在上式中， $f(i)$ 为小明的 存钱函数，而 $g(i)$ 为存入银行的每一笔钱的 复利计算函数。 在这里，小明最终得到的钱就是他的存钱函数和复利计算函数的卷积。
为了更清晰地看到这一点，我们将这个公式推广到连续的情况，也就是说，小明在从 $0$ 到 $t$ 的这一段时间内，每时每刻都往银行里存钱，他的存钱函数为 $f(\tau)\ (0\leq \tau\leq t)$ ，而银行也对他存入的每一笔钱按复利公式计算收益： $g(t-\tau)=(1+5\%)^{t-\tau}$ ，则小明到时间 $t$ 将得到的总钱数为：
$\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau)(1+5\%)^{t-\tau}d\tau$
这也就是卷积的表达式了，上式可以记为 $(f\ast g)(t)$ 。

相信通过上面这个例子，大家应该能够很清晰地记住卷积公式了。下面我们再展开说两句：
如果我们将小明的存款函数视为一个 信号发生（也就是激励）的过程，而将复利函数 $g(t-\tau)$ 视为一个 系统对信号的响应函数（也就是响应），那么二者的卷积 $(f\ast g)(t)$ 就可以看做是在 $t$ 时刻对系统进行观察， 得到的观察结果（也就是输出）将是过去产生的所有信号经过系统的「处理／响应」后得到的结果的 叠加，这也就是 卷积的物理意义了。

理解2：