• 文章原作者：新缸中之脑
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蒙特卡洛仿真（或概率仿真）是一种用于了解金融部门风险和不确定性、项目管理、成本和其他预测机器学习模型的影响的技术。

风险分析是我们做出的几乎每一个决定的一部分，因为我们经常面临生活中的不确定性、模糊性和多变性。此外，即使我们获得了前所未有的信息，我们也不能准确预测未来。

蒙特卡洛仿真使我们能够看到所有可能的结果，并评估风险影响，从而允许在不确定性下更好的决策。

在本文中，我们将通过五个不同的示例来理解蒙特卡洛仿真方法。本教程的代码可在Github及Google Colab 找到。

1、 掷硬币翻转示例

掷一个无偏硬币的正面向上的概率为 1/2。然而，我们有什么办法可以实验证明吗？在此示例中，我们将使用蒙特卡洛方法模拟掷硬币 5000 次，以找出为什么正面向上的概率始终为 1/2。如果我们重复掷这个硬币很多很多次，那么可以达到更高的准确性。

## 导入库
import random 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

## 投硬币的函数
def coin_filp():return random.randint(0,1) # 产生01随机数

## Monte Carlo Simulationprob_list1 = [] # 空列表存储概率值def monte_carlo(n):"""n 是模拟次数"""results = 0for i in range(n):flip_result = coin_filp()results =results + flip_result# Calculating probability valueprob_value = results/(i+1)# append the probability values to the listprob_list1.append(prob_value)# plot the resultsplt.axhline(y = 0.5,color = 'red',linestyle='-')plt.xlabel('Iterations')plt.ylabel('Probability')plt.plot(prob_list1)return results/n

# calling the functionanswer = monte_carlo(5000)
print('Final value:',answer)

Final value: 0.4968

如上图所示，我们在 5000 次迭代后，获得正面向上的概率为 0.502。因此，这就是我们如何使用蒙特卡洛仿真来找到概率值的实验。

2.估计Π（pi）

要估计 PI 的价值，我们需要正方型和圆的面积。为了找到这些区域，我们将随机将点放在表面上，并计算落在圆圈内的点和落在正方形内的点。这将给我们估计他们的面积。因此，我们将使用点计数作为区域，而不是使用实际区域的大小。

## 导入库
import turtle
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import math

## 绘制点
# to visualize the random points
mypen = turtle.Turtle()
mypen.hideturtle()
mypen.speed(0)# drawing a square
mypen.up()
mypen.setposition(-100,-100)
mypen.down()
mypen.fd(200)
mypen.left(90)
mypen.fd(200)
mypen.left(90)
mypen.fd(200)
mypen.left(90)
mypen.fd(200)
mypen.left(90)# drawing a circle
mypen.up()
mypen.setposition(0,-100)
mypen.down()
mypen.circle(100)

# 初始化数据
# to count the points inside and outside the circle
in_circle = 0
out_circle = 0# to store the values of the PI
pi_values = []

# 主函数
# running for 5 times 
for i in range(5):for j in range(50):# generate random numbers x = random.randrange(-100,100)y = random.randrange(-100,100)# check if the number lies outside the circleif (x**2+y**2>100**2):mypen.color('black')mypen.up()mypen.goto(x,y)mypen.down()mypen.dot()out_circle = out_circle + 1else:mypen.color('red')mypen.up()mypen.goto(x,y)mypen.down()mypen.dot()in_circle = in_circle + 1# calculating the value of PIpi = 4.0 * in_circle/(in_circle + out_circle)# append the values of PI in listpi_values.append(pi)# Calculating the errorsavg_pi_errors = [abs(math.pi - pi) for pi in pi_values]# Print the final values of PI for each iterationsprint(pi_values[-1])

3.12
2.96
2.8533333333333335
3.0
3.04

# 绘制图像
# Plot the PI values
plt.axhline(y=math.pi,color='g',linestyle='-')
plt.plot(pi_values)
plt.xlabel('Iterations')
plt.ylabel('Values of PI')
plt.show()

plt.axhline(y = 0.0,color = 'g',linestyle='-')
plt.plot(avg_pi_errors)
plt.xlabel('Iterations')
plt.ylabel('Error')
plt.show()

3.Monty Hall问题

假设在一个游戏节目中， 你可以选择三扇门之一： 一扇门后面是一辆车; 其他门后面都是山羊。你挑一扇门，比方说门1，主持人，他知道门后面是什么，打开另一扇门，比如说门3，有一只山羊。主持人然后问你：你是要坚持你的选择还是选择另一扇门？

换门对你有利吗？

根据概率，换门对我们是有利的。让我们了解一下：

最初，对于所有三个门，获得汽车的概率（P）是相同的（P = 1/3）。

现在假设参赛者选择门 1。然后主持人打开第三扇门，门后面有一只山羊。接下来，主持人问参赛者是否想换门？

我们将看到为什么换门更有利：

在上图中，我们可以看到，在主持人打开3号门后，两扇门拥有汽车的概率增加到2/3。现在我们知道第三扇门有山羊，第二扇门有车的概率增加到2/3。因此，换门更有利。

## 导入库
import random
import matplotlib.pyplot as plt

## 初始化数据
# 1 = car
# 2 = goat
doors = ['goat','goat','car']switch_win_probability = []
stick_win_probability = []plt.axhline(y = 0.66666,color = 'r',linestyle='-')
plt.axhline(y = 0.33333,color = 'g',linestyle='-')

<matplotlib.lines.Line2D at 0x205f5578648>

import random
import matplotlib.pyplot as plt
## 初始化数据
# 1 = car
# 2 = goat
doors = ['goat','goat','car']switch_win_probability = []
stick_win_probability = []# monte carlo simulationdef monte_carlo(n):# calculating switch and stick wins:switch_wins = 0stick_wins = 0for i in range(n):# randomly placing the car and goats behind three doorsrandom.shuffle(doors)# contestant's choicek = random.randrange(2)# If the contestant doesn't get carif doors[k] != 'car':switch_wins += 1else:stick_wins += 1# updatating the list valuesswitch_win_probability.append(switch_wins/(i+1))stick_win_probability.append(stick_wins/(i+1))# plotting the dataplt.plot(switch_win_probability)plt.plot(stick_win_probability)# print the probability valuesprint('Winning probability if you always switch',switch_win_probability[-1])print('Winning probability if you always stick to your original choice:',stick_win_probability[-1])

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monte_carlo(1000)
plt.axhline(y = 0.66666,color = 'r',linestyle='-')
plt.axhline(y = 0.33333,color = 'g',linestyle='-')

Winning probability if you always switch 0.655
Winning probability if you always stick to your original choice: 0.345<matplotlib.lines.Line2D at 0x205f40976c8>

4、Buffon’s Needle问题

法国贵族Buffon，在1777年发布了以下问题：

假设我们在一张划线纸上扔一根短针——针头正好跨越线的位置的可能性是多大？

概率取决于纸上线条之间的距离（d），也取决于我们扔的针的长度（l），或者更确切地说，这取决于比率l/d。对于这个例子，我们可以认为针l ≤ d。简言之，我们的目的是假设针不能同时跨越两条不同的线。令人惊讶的是，这个问题的答案涉及PI。

import random
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def monte_carlo(runs,needles,n_lenth,b_width):# Empty list to store pi values:pi_values = []# Horizontal line  for actual value of PIplt.axhline(y=math.pi,color = 'r',linestyle='-')# For all runs：for i in range(runs):# Initialize number of hits as 0nhits = 0# For all needlesfor j in range(needles):# We will find the distance from the nearest vertical line# min = 0,max = b_width/2x = random.uniform(0,b_width/2.0)# The theta value will be from 0 to pi/2theta = random.uniform(0,math.pi/2)# checking if the needle crosses the line or notxtip = x - (n_lenth/2.0)*math.cos(theta)if xtip < 0 :nhits += 1# Going with the formulanumerator = 2.0 * n_lenth * needlesdenominator = b_width * nhits# Append the final value of pipi_values.append((numerator/denominator))# Final pi value after all iterationsprint(pi_values[-1])# Plotting the graph:plt.plot(pi_values)

# Total number of runs
runs = 100
# Total number of needles
needles = 100000
# Length of needle
n_lenth = 2
# space between 2 verical lines
b_width = 2
# Calling the main function
monte_carlo(runs,needles,n_lenth,b_width)

3.153728495513821

5、为什么庄家总是赢？

赌场如何赚钱？诀窍很简单 —— "你玩得越多， 赌场赚得越多。让我们通过一个简单的蒙特卡洛模拟示例来看看其运作原理。

考虑一个假想的游戏，玩家必须从一袋芯片中挑一个芯片。

规则：

• 袋子里装着1~100个芯片。
• 用户可以投注芯片数量为偶数或奇数。
• 在这个游戏中，10和11是特殊数字。如果我们押注于偶数，则 10 将计为奇数，如果我们押注奇数，则 11 将计为偶数。
• 如果我们押注偶数， 我们得到 10， 那么我们输了。
• 如果我们押注奇数， 我们得到 11， 那么我们输了。

如果我们押注奇数，我们获胜的概率为49/100。庄家获胜的概率是51/100。因此，对于一个奇数赌注，庄家的利润是 = 51/100- 49/100 = 200/10000 = 0.02 = 2%

如果我们押注于偶数，用户获胜的概率为 49/100。庄家获胜的概率是51/100。因此，对于一个偶数赌注，庄家的利润是 = 51/100-49/100 = 200/10000 = 0.02 = 2%

总之，每下1美元的赌注，其中0.02美元就归庄家的。相比之下，轮盘赌庄家的最低利润为2.5%。因此，我们确信，在假想的比赛中，你比轮盘赌更有可能获胜。

import random
import matplotlib.pyplot as plt# Place your bet:
# User can choose even or odd number
choice = input("Don you want to bet on Even number or odd number\n")# For even
if choice =='Even':def pickNote():# get random number between 1-100note = random.randint(1,100)# check for our game conditions# Notice that 10 isn't considered as even numberif note%2 != 0 or note == 10:return Falseelif note%2 ==0:return True# For odd
elif choice =='Odd':def pickNote():# get random number between 1-100note = random.randint(1,100)# check for our game conditions# Notice that 10 isn't considered as even numberif note%2 == 0 or note == 11:return Falseelif note%2 == 1:return True

Don you want to bet on Even number or odd number
Odd

# Main function 
def play(total_money ,bet_money,total_plays):num_of_plays = []money = []# start with play number 1play = 1for play in range(total_plays):# Winif pickNote():# Add the money to our fundstotal_money = total_money + bet_money# append the play numbernum_of_plays.append(play)# append the new fund amoutmoney.append(total_money)# Loseif pickNote():# Add the money to our fundstotal_money = total_money - bet_money# append the play numbernum_of_plays.append(play)# append the new fund amoutmoney.append(total_money)# Plot the dataplt.ylabel('Player Money in $')plt.xlabel('Number of bets')plt.plot(num_of_plays,money)final_funds = []# Final values after all the iterationsfinal_funds.append(money[-1])return( final_funds)

 # Run 10 time# 修改这里的次数
for i in range(1000):ending_fund = play(10000,100,50)
print(ending_fund)
print(sum(ending_fund))# print the money the player ends with
print('The player started with $10,000')
print('The player left with $',str(sum(ending_fund)/len(ending_fund)))

[10400]
10400
The player started with $10,000
The player left with $ 10400.0