武器系统仿真技术(二):末端制导系统蒙特卡洛仿真法

article/2025/4/22 3:16:05

1.蒙特卡洛仿真方法的统计特性

假设一个 $m$ 个系统输出数据 ${y_i\}_{i=1}^m$ ， $N$ 次循环得到 $N$ 组数据 ${\{y_i\}_{i=1}^m\}_{j=1}^N$ 。那么实际上会有以下两组统计特性指标:

1.2数值统计特性:

(1)数学期望: $\approx \frac{1}{N}\sum_{k=1}^Ny_k$

(2)方差: $\sigma_y^2 \approx \frac{1}{N}\sum_{K=1}^N{(y_k-Ey)}^2$

(3)概率密度函数: $p(y)\approx\frac{N_y}{N\Delta y}$ ,其中若将区间 $(a, b)$ 划分为 $L$ 段,则 $\Delta y=\frac{b-a}{L}$ ,其中 $N_y$ 是数值满足不等式:

$(y-0.5\Delta y)<y<(y+0.5\Delta y)$ 的个数,用曲线拟合可以得到概率密度函数 $p (y)$

1.3 时间统计特性计算(Y(t)是平稳随机过程):

(1)时间均值 $E\{y_K(t)\}=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_0^Ty_K(t)dt$

(2)时间均方差 $\sigma_{y_K}^2=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_0^T\{y_K(t)-E\{y_K(t)\}\}^2dt$

(3)自相关函数 $R_{y_K}(t_1,t_2)=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_0^Ty_K(t)y_K(t+\tau)dt$

2.仿真实例

以导弹末端制导系统仿真为例,说明该仿真方法的应用

2.1仿真原理及算法

1.系统组成

一个导弹末端制导系统由控制系统,导引头,目标运动,导弹运动和相对运动等若干环节组成,这些环节构成了末端制导系统(如下图所示)。符号说明: $R :$ 视线距, $\lambda:$ 视线角, $a_c$ :控制指令, $a_L$ :导弹控制系统对制导指令的响应(实际视线法向加速度)。采用比例制导法,那么 $a_c=Kv_c\dot{\lambda}$ ,其中 $K$ 为比例导引系数, $v_c$ 为导弹实际接近目标的速度, $\dot{\lambda}$ 为目标的实际角速度。
在这里插入图片描述

2.工作原理

由视线角速度 $\dot\lambda$ 进过制导计算机形成制导指令,导弹控制系统执行制导指令,改变导弹的姿态运动并且给出导弹视线法向加速度,影响导弹同目标运动的相对运动,使得 $R(t_F)$ (即在一段飞行时间内导弹的视线距尽可能小)。

仿真目的在于通过仿真活得脱靶量 $y(t_F)$ 在不同的 $m$ 个飞行时间内由于随机目标机动运动造成的均方根 $\sigma_{y(1)},\sigma_{y(2)},\sigma_{y(3)}...,\sigma_{y(m)}$ ,以及相关的数值和时间统计特性。

3.制导系统的线性化模型

在这里插入图片描述

仿真过程中: $a_T$ 是目标的运动加速度是随机量,其代表的是一类“电报机动”的随机干扰模型,即目标要么正的最大加速度机动,要么负的最大加速度机动,机动开始时间和正负方向都是随机的。当运动规律确定的时候,开始时间随机的随机扰动可以描述为:
$x(t)=h(t-T)\\ p_T(t)=\frac{1}{t_F}(0\leq t\leq t_F),0(else)$
在本例中,目标做随机机动,其视线法向加速度 $a_T$ 的幅值为29.4m/s,加速度的正负符号和开始时间 $T$ 为在区间 $0,t_F)$ 内的等概率的随机量。其描述如下:
$a_T(t)=C_{oef}*a_T*sign(t-T)\\ C_{oef}=1(Random>0.5),-1(random<0.5),p_T(t)=\frac{1}{t_F}(0\leq t\leq t_F),0(else)$
其中 $R (0)$ 为视线距初值, $t_F=\frac{R(0)}{v_c}$ , $y(t_F)$ 定义为脱靶量, $t_{go}=t_F-t$ 为剩余飞行时间, $v_ct_{go}$ 为剩余飞行距离,视线角为 $\lambda=\frac{y}{v_ct_{go}}$ 。一些其他的参数标注为v_c=1219m/s,K=3,系统时间常数T=1s,导弹速度v_m=914.4m/s。

设 $X=(y,\dot{y},a_c,a_L)^T$ 系统的状态方程可以描述为:
$\dot{X}=f(t,X,a_T,t_F)$
其中: $\dot X = (X(2),a_T-X(4),K(\frac{X(2)}{t_F-t}+\frac{X(1)}{(t_F-t)^2}),\frac{X(3)-X(4)}{T})^T$ 。

其流程图可以表述如下:

在这里插入图片描述

2.2 仿真代码及结果

clc,clear;close all;
v_c = 1219;K = 3;T = 1;
v_m = 914.4;a_T = 29.4;
coffient.K = K;
coffient.a_T = a_T;
t_f = 10;h = 0.1;
%重要参数区间
E = [];D = [];time_point = [];
for time = h:h:t_fT =  time*rand;%产生常数Tx0 = [0 0 0 0]';%下面进行参数结构体赋值coffient.t_F = time;coffient.T = T;[tout,yout] = Adams_4v(@(t,x)missle_model(t,x,coffient),[0 time],x0,(time - 0)/50);%下面计算具体参数time_point = [time_point;time];E = [E;mean(yout(:,1))];D = [D;sqrt(mean((yout(:,1) - mean(yout(:,1))).^2))];
end
%下面进行绘图操作
subplot(121)
hold on;box on;grid on;
plot(time_point,E,'bo');
xlabel('t_F/s');ylabel('E(y_P{t_F})/m');
title('数学期望仿真结果');
subplot(122)
hold on;box on;grid on;
plot(time_point,D,'r-+');
xlabel('t_F/s');ylabel('\sigma(y_P{t_F})/m');
title('方差仿真结果');%导弹末端制导模型
function f = missle_model(t,x,coffient)K = coffient.K;t_F = coffient.t_F;aT = coffient.a_T;T = coffient.T;f = zeros(4,1);%下面给出随机a_Tif rand >= 0.5C_oef = 1;elseC_oef = -1;endif t>Tflag = 1;elseflag = 0;enda_T = C_oef*aT*flag;%下面是函数导数f(1) = x(2);f(2) = a_T - x(4);f(3) = K*(x(2)/(t_F - t) + x(1)/(t_F - t)^2);f(4) = (x(3) - x(4))/T;
end%下面是4阶亚当姆斯预估-校正法
function [t_,y] = Adams_4v(f,tspan,x0,h)t_min = tspan(1);t_max = tspan(2);t_f1 = [t_min,t_min+h,t_min+2*h,t_min+3*h];t_f2 = [t_min+h,t_min+2*h,t_min+3*h,t_min+4*h];fn1 = zeros(1,4);fn2 = zeros(1,4);y = [];t_ = [];x = x0;t = t_min;%下面是用RK-4初始化提供初值while(t<t_f1(end))y = [y;x'];t_ = [t_;t];K1 = h*f(t,x);K2 = h*f(t + h/2,x + 1/2*K1);K3 = h*f(t + h/2,x + 1/2*K2);K4 = h*f(t + h,x + K3);x = x + (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)/6;t = t + h;endfor t = (t_min+3*h):h:t_maxy = [y;x'];t_ = [t_;t];x_ = x + h/24*(55*f(t,x)-59*f(t-h,x)+37*f(t-2*h,x)-9*f(t-3*h,x));f_ = f(t+h,x_);x = x + h/24*(9*f_ + 19*f(t,x) - 5*f(t-h,x) + f(t-2*h,x));end
end