定义

用于检验总体呈正态分布的方差的假设检验，其中 ${\chi }^2$ 检验常用于单样本正态方差检验；$F$ 检验用于双样本的正态方差检验。

${\chi }^2$ 检验、$F$ 检验不需要知道正态分布的均值，因为两者的检验准则、检验统计量都不包括 $\mu$。

另外，${\chi }^2,F$ 检验都是对正态分布非常敏感的。若总体不符合正态分布，则会大大影响检验的合理性。

${\chi }^2$ 检验

${\chi }^2$检验的检验统计量为：
$${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}$$
其中 $s^2$ 为样本方差，$n$ 为样本容量，${\sigma }_0^2$ 是与假设检验有关的常数。

以如下案例为例：

设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\sigma$ 未知。现从总体中抽出 $n$ 个 $i.i.d$ 的样品 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$，共同的分布为总体分布。

验证假设：
$1^{\circ }:H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2{H}_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$
$2^{\circ }:H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2{H}_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$
$3^{\circ }:H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2{H}_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$

1°

对于该双边检验，若 $H_1$ 为真，则检验统计量 ${\chi }^2$ 的倾向应是：
$${\chi }^2>C_{1}or{\chi }^2<C_2$$
根据假设检验的一般步骤：
给 定 显 著 水 平 α ， ∵ χ 2 ↑ 或 χ 2 ↓ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 令 ： P { χ 2 > C 1 o r χ 2 < C 2 ∣ H 0 } ≤ α 在 原 假 设 和 成 立 时 ， χ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) ⇓ C 2 = χ α / 2 2 ( n − 1 ) C 1 = χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 χ 2 ∈ ( 0 , χ α / 2 2 ( n − 1 ) ) ∪ ( χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) , + ∞ ) 给定显著水平 \alpha，\because \chi^2\uarr 或 \chi^2 \darr ,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 令：P\{ \chi^2>C_1~~or~~\chi^2<C_2|H_0\}\leq \alpha \\ ~\\ 在原假设和成立时，\chi^2\sim\chi^2(n-1)\\ \Darr\\ C_2=\chi^2_{\alpha/2}(n-1)\\ C_1=\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\\ \Darr\\ 求得拒绝域为~ \chi^2\in(0,\chi^2_{\alpha/2}(n-1))\cup(\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1),+\infin) 给定显著水平α，∵χ2↑或χ2↓,H0​越难成立，⇓令：P{χ2>C1​  or  χ2<C2​∣H0​}≤α 在原假设和成立时，χ2∼χ2(n−1)⇓C2​=χα/22​(n−1)C1​=χ1−α/22​(n−1)⇓求得拒绝域为 χ2∈(0,χα/22​(n−1))∪(χ1−α/22​(n−1),+∞)
故只要求出检验统计量的观察值，根据拒绝域做出判断即可。

2°

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根据定义，检验统计量为：
$${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}$$
根据假设检验的一般步骤：
给 定 显 著 水 平 α ， ∵ χ 2 ↑ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 故 令 ： P { χ 2 = ( n − 1 ) s 2 σ 0 2 > C ∣ H 0 } ≤ α P { ( n − 1 ) s 2 σ 0 2 > C ∣ σ 2 ≤ σ 0 2 } ≤ α ⇓ P { ( n − 1 ) s 2 σ 2 > σ 0 2 C σ 2 ∣ σ 2 ≤ σ 0 2 } ⇓ ∵ P { ( n − 1 ) s 2 σ 2 > σ 0 2 C σ 2 ∣ σ 2 ≤ σ 0 2 } ≤ P { ( n − 1 ) s 2 σ 2 > C ∣ σ 2 ≤ σ 0 2 } ⇓ 而 当 σ 2 = σ 0 2 时 ， χ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) ⇓ C = χ 1 − α 2 ( n − 1 ) ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 χ 2 ∈ ( χ 1 − α 2 ( n − 1 ) , + ∞ ) 给定显著水平 \alpha，\because \chi^2\uarr,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 故令：P\{ \chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}>C|H_0\}\leq \alpha \\ ~\\ P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}>C|\sigma^2\leq\sigma_0^2\}\leq \alpha \\ \Darr \\ P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}>\frac{\sigma_0^2C}{\sigma^2}|\sigma^2\leq\sigma_0^2\}\\ \Darr\\ \because P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}>\frac{\sigma_0^2C}{\sigma^2}|\sigma^2\leq\sigma_0^2\}\leq P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}>C|\sigma^2\leq\sigma_0^2\}\\ \Darr\\ 而当 \sigma^2 = \sigma^2_0时，\chi^2\sim\chi^2(n-1)\\ \Darr\\ C=\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\\ \Darr\\ 求得拒绝域为 \chi^2\in(\chi^2_{1-\alpha}(n-1),+\infin) 给定显著水平α，∵χ2↑,H0​越难成立，⇓故令：P{χ2=σ02​(n−1)s2​>C∣H0​}≤α P{σ02​(n−1)s2​>C∣σ2≤σ02​}≤α⇓P{σ2(n−1)s2​>σ2σ02​C​∣σ2≤σ02​}⇓∵P{σ2(n−1)s2​>σ2σ02​C​∣σ2≤σ02​}≤P{σ2(n−1)s2​>C∣σ2≤σ02​}⇓而当σ2=σ02​时，χ2∼χ2(n−1)⇓C=χ1−α2​(n−1)⇓求得拒绝域为χ2∈(χ1−α2​(n−1),+∞)
对于这类假设为单边，也称为单边（one-tailed）检验。单边检验的显著水平 $\alpha$，是对每个 $\mu$ 都成立的上确界。而相反的，双边检验的原假设，往往对应一个值。

3°

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根据定义，检验统计量为：
$${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}$$
根据假设检验的一般步骤：
给 定 显 著 水 平 α ， ∵ χ 2 ↓ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 故 令 ： P { χ 2 = ( n − 1 ) s 2 σ 0 2 < C ∣ H 0 } ≤ α P { ( n − 1 ) s 2 σ 0 2 < C ∣ σ 2 ≥ σ 0 2 } ≤ α ⇓ P { ( n − 1 ) s 2 σ 2 < σ 0 2 C σ 2 ∣ σ 2 ≥ σ 0 2 } ⇓ ∵ P { ( n − 1 ) s 2 σ 2 < σ 0 2 C σ 2 ∣ σ 2 ≥ σ 0 2 } ≤ P { ( n − 1 ) s 2 σ 2 < C ∣ σ 2 ≥ σ 0 2 } ⇓ 而 当 σ 2 = σ 0 2 时 ， χ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) ⇓ C = χ α 2 ( n − 1 ) ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 χ 2 ∈ ( 0 , χ α 2 ( n − 1 ) ) 给定显著水平 \alpha，\because \chi^2\darr,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 故令：P\{ \chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}<C|H_0\}\leq \alpha \\ ~\\ P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}<C|\sigma^2\geq\sigma_0^2\}\leq \alpha \\ \Darr \\ P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}<\frac{\sigma_0^2C}{\sigma^2}|\sigma^2\geq\sigma_0^2\}\\ \Darr\\ \because P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}<\frac{\sigma_0^2C}{\sigma^2}|\sigma^2\geq\sigma_0^2\}\leq P\{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}<C|\sigma^2\geq\sigma_0^2\}\\ \Darr\\ 而当 \sigma^2 = \sigma^2_0时，\chi^2\sim\chi^2(n-1)\\ \Darr\\ C=\chi^2_{\alpha}(n-1)\\ \Darr\\ 求得拒绝域为 \chi^2\in(0,\chi^2_{\alpha}(n-1)) 给定显著水平α，∵χ2↓,H0​越难成立，⇓故令：P{χ2=σ02​(n−1)s2​<C∣H0​}≤α P{σ02​(n−1)s2​<C∣σ2≥σ02​}≤α⇓P{σ2(n−1)s2​<σ2σ02​C​∣σ2≥σ02​}⇓∵P{σ2(n−1)s2​<σ2σ02​C​∣σ2≥σ02​}≤P{σ2(n−1)s2​<C∣σ2≥σ02​}⇓而当σ2=σ02​时，χ2∼χ2(n−1)⇓C=χα2​(n−1)⇓求得拒绝域为χ2∈(0,χα2​(n−1))

实验设计

在进行采样时，通常需要事前确定 $n$。

以 2° 为例，给定显著水平 $\alpha$，$\because {\chi }^2\uparrow ,H_0$ 越难成立，$\therefore$ 设定检验标准（拒绝）为：${\chi }^2>C$。

定义势函数为：

为了书写方便，这里将自由度，移到下标去啦，大家见谅哈。。总不能一大推符号做下标吧

p ( μ ) = P { χ 2 > C ∣ σ 2 ∈ ( 0 , ∞ ) } = P { ( n − 1 ) s 2 σ 2 > σ 0 2 C σ 2 ∣ σ 2 ∈ ( 0 , + ∞ ) } ∵ ( n − 1 ) s 2 σ 2 ∼ χ n − 1 2 = 1 − χ n − 1 2 ( σ 0 2 C σ 2 ) \begin{aligned} p(\mu)&=P\{ \chi^2 > C| \sigma^2\in(0,\infin)\} \\ &= P\{ \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} > \frac{\sigma^2_0C}{\sigma^2}| \sigma^2\in(0,+\infin)\} \\ \because ~~&\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}\\ &=1-\chi^2_{n-1}(\frac{\sigma^2_0C}{\sigma^2}) \end{aligned} p(μ)∵  ​=P{χ2>C∣σ2∈(0,∞)}=P{σ2(n−1)s2​>σ2σ02​C​∣σ2∈(0,+∞)}σ2(n−1)s2​∼χn−12​=1−χn−12​(σ2σ02​C​)​
取 $\alpha$，则根据检验标准的临界值求取法则，有：
s u p σ 2 { 1 − χ n − 1 2 ( σ 0 2 C σ 2 ) ∣ σ 2 ∈ ( 0 , σ 0 2 ) } < = α \underset{\sigma^2}{sup} \{1-\chi^2_{n-1}(\frac{\sigma^2_0C}{\sigma^2})|\sigma^2\in(0,\sigma^2_0)\} <= \alpha σ2sup​{1−χn−12​(σ2σ02​C​)∣σ2∈(0,σ02​)}<=α
最后得到检验标准的临界值 $C={\chi }_{n-1}^2(1-\alpha )$

回代入势函数，可得：
$$p({\sigma }^2)=1-{\chi }_{n-1}^2(\frac{{\sigma }_0^2{\chi }_{n-1}^2(1-\alpha )}{{\sigma }^2})$$
其中有两个重要的性质：

1. 势函数是 ${\sigma }^2$ 的函数，且是连续的、非减的。
2. $$\begin{gathered} \underset{{\sigma }^2\to {\sigma }_0^2}{\lim }{\chi }_{n-1}^2(\frac{{\sigma }_0^2{\chi }_{n-1}^2(1-\alpha )}{{\sigma }^2})=\alpha \\ \underset{{\sigma }^2\to +\infty }{\lim }{\chi }_{n-1}^2(\frac{{\sigma }_0^2{\chi }_{n-1}^2(1-\alpha )}{{\sigma }^2})=1 \end{gathered}$$

设无差别区域为 ${\sigma }^2\in ({\sigma }_0^2,\Delta )$，则对于 $[\Delta ,+\infty ]$，给定一个 $\beta$，使得 $p({\sigma }^2)\ge 1-\beta$。由于势函数是非减的，故问题转换为临界问题：
$$\begin{array}{r}p({\sigma }^2)=1-{\chi }_{n-1}^2(\frac{{\sigma }_0^2{\chi }_{n-1}^2(1-\alpha )}{{\sigma }^2})=1-\beta \\ {\chi }_{n-1}^2(\frac{{\sigma }_0^2{\chi }_{n-1}^2(1-\alpha )}{{\sigma }^2})=\beta \end{array}$$
从而得出适当的 $n$ ，前者对应采样容量，后者是在测量问题上，可考虑提高测量精度。

其中，$\beta$ 是当备选假设成立时，原假设被错误地接受的概率的临界值。

通过 $\beta ,\alpha ,\Delta$，即可知道我们进行试验设计，得出适当的 $n$ 。

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$F$ 检验

$F$ 检验对总体是否正态非常敏感

$F$检验的检验统计量为：
$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$$
其中 $s_1^2,s_2^2$ 为样本方差， $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。

以如下案例为例：

设总体 $X,Y$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }_1^2),N(\mu ,{\sigma }_2^2)$，${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 未知。现从总体 $X,Y$ 中分别抽出 $n_1$ 个 $i.i.d$ 的样品 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$, $n_2$个 $i.i.d$ 样品 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$ ，共同的分布为总体分布 $X,Y$。

验证假设：
$1^{\circ }:H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2{H}_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$
$2^{\circ }:H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2{H}_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$
$3^{\circ }:H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2{H}_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$

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1°

对于该双边检验，若 $H_1$ 为真，则检验统计量 $F$ 的倾向应是：
$$F>C_{1}orF<C_2$$
根据假设检验的一般步骤：
给 定 显 著 水 平 α ， ∵ F ↑ 或 F ↓ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 令 ： P { F > C 1 o r F < C 2 ∣ H 0 } ≤ α 在 原 假 设 和 成 立 时 ， s 1 2 / σ 1 2 s 2 2 / σ 1 2 = s 1 2 s 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ⇓ C 2 = F α / 2 2 ( n − 1 ) C 1 = F 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 F ∈ ( 0 , F α / 2 ( n − 1 ) ) ∪ ( F 1 − α / 2 ( n − 1 ) , + ∞ ) 给定显著水平 \alpha，\because F\uarr 或 F\darr ,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 令：P\{F>C_1~~or~~F<C_2|H_0\}\leq \alpha \\ ~\\ 在原假设和成立时，\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_1^2}=\frac{s_1^2}{s_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\\ \Darr\\ C_2=F^2_{\alpha/2}(n-1)\\ C_1=F^2_{1-\alpha/2}(n-1)\\ \Darr\\ 求得拒绝域为~ F\in(0,F_{\alpha/2}(n-1))\cup(F_{1-\alpha/2}(n-1),+\infin) 给定显著水平α，∵F↑或F↓,H0​越难成立，⇓令：P{F>C1​  or  F<C2​∣H0​}≤α 在原假设和成立时，s22​/σ12​s12​/σ12​​=s22​s12​​∼F(n1​−1,n2​−1)⇓C2​=Fα/22​(n−1)C1​=F1−α/22​(n−1)⇓求得拒绝域为 F∈(0,Fα/2​(n−1))∪(F1−α/2​(n−1),+∞)
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2°

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根据定义，检验统计量为：
$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$$
根据假设检验的一般步骤：
给 定 显 著 水 平 α ， ∵ F ↑ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 故 令 ： P { F = s 1 2 s 2 2 > C ∣ H 0 } ≤ α P { s 1 2 s 2 2 > C ∣ σ 1 2 ≤ σ 2 2 } ≤ α ⇓ P { s 1 2 / σ 1 2 s 2 2 / σ 2 2 > σ 2 2 C σ 1 2 ∣ σ 1 2 ≤ σ 2 2 } ⇓ ∵ P { s 1 2 / σ 1 2 s 2 2 / σ 2 2 > σ 2 2 C σ 1 2 ∣ σ 1 2 ≤ σ 2 2 } ≤ P { s 1 2 / σ 1 2 s 2 2 / σ 2 2 > C ∣ σ 1 2 ≤ σ 2 2 } ⇓ 而 当 σ 1 2 = σ 2 2 时 ， F ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ⇓ C = F 1 − α ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 F ∈ ( F 1 − α ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , + ∞ ) 给定显著水平 \alpha，\because F\uarr,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 故令：P\{ F=\frac{s_1^2}{s_2^2}>C|H_0\}\leq \alpha \\ ~\\ P\{\frac{s_1^2}{s_2^2}>C|\sigma^2_1\leq\sigma_2^2\}\leq \alpha \\ \Darr \\ P\{\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}>\frac{\sigma_2^2C}{\sigma_1^2}|\sigma_1^2\leq\sigma_2^2\}\\ \Darr\\ \because P\{\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}>\frac{\sigma_2^2C}{\sigma_1^2}|\sigma_1^2\leq\sigma_2^2\}\leq P\{\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}>C|\sigma_1^2\leq\sigma_2^2\}\\ \Darr\\ 而当 \sigma_1^2 = \sigma^2_2时，F\sim F(n_1-1,n_2-1)\\ \Darr\\ C=F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1)\\ \Darr\\ 求得拒绝域为 F\in(F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1),+\infin) 给定显著水平α，∵F↑,H0​越难成立，⇓故令：P{F=s22​s12​​>C∣H0​}≤α P{s22​s12​​>C∣σ12​≤σ22​}≤α⇓P{s22​/σ22​s12​/σ12​​>σ12​σ22​C​∣σ12​≤σ22​}⇓∵P{s22​/σ22​s12​/σ12​​>σ12​σ22​C​∣σ12​≤σ22​}≤P{s22​/σ22​s12​/σ12​​>C∣σ12​≤σ22​}⇓而当σ12​=σ22​时，F∼F(n1​−1,n2​−1)⇓C=F1−α​(n1​−1,n2​−1)⇓求得拒绝域为F∈(F1−α​(n1​−1,n2​−1),+∞)
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3°

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根据定义，检验统计量为：
$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$$
根据假设检验的一般步骤：
给 定 显 著 水 平 α ， ∵ F ↓ , H 0 越 难 成 立 ， ⇓ 故 令 ： P { F = s 1 2 s 2 2 < C ∣ H 0 } ≤ α P { s 1 2 s 2 2 < C ∣ σ 1 2 ≥ σ 2 2 } ≤ α ⇓ P { s 1 2 / σ 1 2 s 2 2 / σ 2 2 < σ 2 2 C σ 1 2 ∣ σ 1 2 ≥ σ 2 2 } ⇓ ∵ P { s 1 2 / σ 1 2 s 2 2 / σ 2 2 < σ 2 2 C σ 1 2 ∣ σ 1 2 ≥ σ 2 2 } ≤ P { s 1 2 / σ 1 2 s 2 2 / σ 2 2 < C ∣ σ 1 2 ≥ σ 2 2 } ⇓ 而 当 σ 1 2 = σ 2 2 时 ， F ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ⇓ C = F 1 − α ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ⇓ 求 得 拒 绝 域 为 F ∈ ( 0 , F 1 − α ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ) 给定显著水平 \alpha，\because F\darr,H_0 越难成立，\\ \Darr \\ 故令：P\{ F=\frac{s_1^2}{s_2^2}<C|H_0\}\leq \alpha \\ ~\\ P\{\frac{s_1^2}{s_2^2}<C|\sigma^2_1\geq\sigma_2^2\}\leq \alpha \\ \Darr \\ P\{\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}<\frac{\sigma_2^2C}{\sigma_1^2}|\sigma_1^2\geq\sigma_2^2\}\\ \Darr\\ \because P\{\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}<\frac{\sigma_2^2C}{\sigma_1^2}|\sigma_1^2\geq\sigma_2^2\}\leq P\{\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}<C|\sigma_1^2\geq\sigma_2^2\}\\ \Darr\\ 而当 \sigma_1^2 = \sigma^2_2时，F\sim F(n_1-1,n_2-1)\\ \Darr\\ C=F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1)\\ \Darr\\ 求得拒绝域为 F\in(0,F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1)) 给定显著水平α，∵F↓,H0​越难成立，⇓故令：P{F=s22​s12​​<C∣H0​}≤α P{s22​s12​​<C∣σ12​≥σ22​}≤α⇓P{s22​/σ22​s12​/σ12​​<σ12​σ22​C​∣σ12​≥σ22​}⇓∵P{s22​/σ22​s12​/σ12​​<σ12​σ22​C​∣σ12​≥σ22​}≤P{s22​/σ22​s12​/σ12​​<C∣σ12​≥σ22​}⇓而当σ12​=σ22​时，F∼F(n1​−1,n2​−1)⇓C=F1−α​(n1​−1,n2​−1)⇓求得拒绝域为F∈(0,F1−α​(n1​−1,n2​−1))
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附录

假设检验一般步骤

1. 制定原假设、备选假设
2. 制定检验统计量
3. 取显著水平$\alpha$，得出接受域、拒绝域
4. [取 $\beta$，根据势函数得出 $n$]
5. 判断检验统计量的观察值，所处的域，决定是否接受原假设

---

4. [取 $\alpha ,\beta$，根据势函数得出 $n$]
5. 根据检验统计量的观察值，求出其 p-值，并据此做出决策

详见博文：假设检验

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势函数

势函数是包含了所有检验下，犯第一类错误的概率，和识别备选假设的能力。

详见博文：假设检验

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