重新认识微分和导数

article/2025/4/3 8:53:39

之前写过不少关于微分和导数的文章：

微分是什么？
dx，dy是什么？
微分和导数的关系是什么？
$\cdots\cdots$

今天这篇文章再换一个角度来谈论微分和导数，让我们从微分出现的原因说起。

1 微分出现的原因

出于种种原因，我们可能想去求曲线的长度、曲面梯形的面积：

求 $a$ 和 $b$ 之间的曲线长度

求 $a$ 和 $b$ 之间的曲边梯形的面积

求解思路是这样的，以求曲线长度为例，将曲线分为多个部分，每一部分都用切线来近似曲线：

划分的越细，直到划分为无穷多份，最终这些切线的长度加起来就是曲线的长度：

求曲边梯形面积也是类似的，用小矩形来近似曲边梯形的面积，随着小矩形的增多最终得到曲边梯形的面积：

上面的思想就是微积分的核心思想，“以直代曲”。曲线长度、曲边梯形就是“曲”，切线、小矩形就是用来近似（代替）的“直”，这种“直”就是微分。关于这里还不了解的可以看“微分是什么？”这篇文章。

2 微分与导数

先不谈曲边梯形，本节先来回答曲线的微分是什么，也就是可以近似曲线的直线是什么？

2.1 几何分析

下面结合几何来理清一下求解的思路。假设有曲线 $f(x)$ 和直线 $g(x)$ ，如果两者完全相等，那么有：

很显然这在整个曲线和直线上是做不到的，但肯定可以做到在某点上相等，比如让它们在 $x_0$ 点相等，从几何上看就是曲线 $f(x)$ 和直线 $g(x)$ 在 $x_0$ 点相交：

下面要更进一步，不过不要太贪心，只希望两者在 $x_0$ 附近尽量相等。比如像下图一样，在 $(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$ 的区间内，曲线 $f(x)$ 和直线 $g(x)$ 相差很小：

这点如果可以做到，那就可以按照上一节说的，将曲线分成n份，每份都用各自的微分来近似。

2.2 代数分析

通过几何分析，思路已经理清楚了，要找的微分（直线）需要满足以下两点：

（1）曲线 $f(x)$ 和直线 $g(x)$ 要交于 $x_0$ 点。假设直线 $g(x)$ 的斜率为 $k$ ，那么根据点斜式，可得直线函数：

$g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)$

这里面就是 $k$ 还未知，求出了 $k$ 就得到了想要的直线，也就得到了微分。

（2）曲线 $f(x)$ 和直线 $g(x)$ 要在 $(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$ 的区间内尽可能相等。用代数表示即为：

$f(x)-g(x)\approx 0,\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$

有约等号的式子是没法计算的，引入高阶无穷小 $o(\Delta x)$ 可以将约等号去掉：

$f(x)-g(x)=o(\Delta x),\quad x\in(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$

高阶无穷小 $o(\Delta x)$ 的意思就是在 $\Delta x$ 这个范围内无限的接近于 0。至于为什么它无限接近于 0，以及为什么是高阶无穷小，在文章的最后会进行补充说明。

2.3 解出直线的斜率 $k$

经过上面的分析我们有了：

$\left.\begin{aligned} g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)\\ f(x)-g(x)=o(\Delta x) \end{aligned}\right\}\implies f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)=o(\Delta x)$

这已经足够让我们解出直线的斜率 $k$ 了。注意到 $\Delta x=x-x_0$ ，可以进行如下变形：

$\begin{aligned} f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)=o(\Delta x) &\implies f(x)-f(x_0)-k\Delta x=o(\Delta x)\\ &\implies \frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \end{aligned}$

两侧取极限可得：

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\implies \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)-k\Delta x}{\Delta x}=0$