第七章——微分方程

article/2025/4/3 8:58:13

目录

一、求常系数线性齐次微分方程的通解

二、可分离变量的一阶微分方程

三、齐次方程

四、一阶线性微分方程

五、 可降解的高阶微分方程

六、常系数非齐次线性微分方程的特解形式 


注://之后的都是注释,不是过程。

一、求常系数线性齐次微分方程的通解

1.一般形式:y''+py'+qy=0。

2.齐次:“齐次”的含义就是次数相等,y''+py'+qy=0都是一次幂,所以是齐次线性微分方程,如果说加上一个常数c,变为y''+py'+qy+c=0,那么这个c是可以看作cy⁰,y的零次幂,就不是齐次微分方程了。

3.特征方程:有几阶导就看作几次幂。

4.求出特征根:

① 若有两个不同的特征根,通解y=C1*e^r1x+C2*e^r2x(对应例2)

②若有两个相同的特征根,通解y=(C1+C2x)e^rx(对应例3)

③若有一对共轭复根,通解y=e^αx(C1cosβx+C2sinβx)(对应例4)

例1:求y'=y的通解。

解:特征方程为r-1=0∴r1=1∴通解y=e^x

例2:求y''-2y'-3y=0的通解。

解:特征方程为r^2-2r-3=0//十字相乘法:1   -3//1    1∴r1=3,r2=-1∴通解为:y=C1e^3x+C2e^-x

例3:求y''+2y'+y=0的通解。

例4:求y''-2y'+5y=0的通解。

 

二、可分离变量的一阶微分方程

解题步骤:

1.把y’写作dy/dx。

2.移项,使等式两边分别全为x,全为y。

3.对两边积分。

例1:求y'=2x的通解。

解:∵dy/dx=2x ∴dy=2xdx ∴∫dy=∫2xdx∴y=x^2+C

例2:求y'=e^2x-y,y|x=0=0的特解。

解:∵dy/dx=e^2x*e^-y  ∴e^ydy=e^2xdx  ∴∫e^ydy=∫e^2xdx  ∴e^y=1/2*e^2x+C  代入x=0,y=0得C=1/2  ∴e^y=1/2*e^2x+1/2  两边同取对数得 y=ln(e^2x+1)/2

例3:求xy'-ylny=0的通解。

三、齐次方程

出现或者能产生y/x的情况使用,实际上就是换元法,步骤:

1.设u=y/x。

2.所以y=ux、dy/dx=u+x*du/dx,将两者代入方程(化为y/x形式的那个方程)。

3.分离变量的方法。

例1:求齐次方程xy'=ylny/x的通解。

四、一阶线性微分方程

1.方程:y'+P(x)y=Q(x)

2.公式:

例1: 求y'+y=e^x的通解。

例2:y'-ytanx=secx的通解。

例3:y'+y/x=sinx/x,y|x=π=1的特解。

五、 可降解的高阶微分方程

1.缺y型的形式:y''=f(x,y')

解题方法:令y'=p  y''=p'

2.缺x型的形式:y''=f(y,y')

解题方法:令y'=p  y''=p*dp/dy

例1:求(1+x^2)y''=2xy'的通解。(移项后符合y''=f(x,y'),是缺y型)

例2:求yy''-y'^2=0的通解。(移项后符合y''=f(y,y'),是缺x型)

六、常系数非齐次线性微分方程的特解形式 

1.一般形式:y''+py'+qy=f(x)

2.解题步骤:

①把f(x)看作0,视为齐次方程。

②写出该齐次方程的特征方程,求出特征根。

③与λ(例题中解释)相比,若λ=r1=r2(重根);若λ=r1或者r2(单根);若λ≠r1,r2(无根)。

④重根k=2;单根k=1;无根k=0。

 ⑤Q(m)的情况:看等式右边x的次数,一次幂设Q(m)=ax+b;二次幂设Q(m)=ax^2+bx+c;没有x设Q(m)=a。

例1:求y''-5y'+6y=xe^2x的特解形式。

例2:求y''+5y'+4y=6-2x的特解形式。

大家放心,草稿纸剩下的边边角角我都会用起来的,绝不会浪费纸张。如果有错误望指出。


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