4.8  微分方程

微分方程是数值计算中常见的问题，MATLAB提供了多种函数来计算微分方程的解。

4.8.1  常微分方程

众所周知，对一些典型的常微分方程，能求解出它们的一般表达式，并用初始条件确定表达式中的任意常数。但实际中存在有这种解析解的常微分方程的范围十分狭窄，往往只局限在线性常系数微分方程(含方程组)，以及少数的线性变系数方程。对于更加广泛的、非线性的一般的常微分方程，通常不存在初等函数解析解。由于实际问题求解的需要，求近似的数值解成为了解决问题的主要手段。常见的求数值解的方法有欧拉折线法、阿当姆斯法、龙格-库塔法与吉尔法等。其中由于龙格-库塔法的精度较高，计算量适中，所以使用的较广泛。

数值解的最大优点是不受方程类型的限制，即可以求任何形式常微分方程的特解(在解存在的情况下)，但是求出的解只能是数值解。

1．龙格-库塔方法简介

对于一阶常微分方程的初值问题，在求解未知函数时，在点的值是已知的，并且根据高等数学中的中值定理，应有：

一般而言，在任意点，有：

当确定后，根据上述递推公式能算出未知函数在点的一列数值解：

当然在递推的过程中同样存在着一个误差累计的问题，实际计算中的递推公式一般都进行过改造，龙格-库塔公式为：