微分是什么？

article/2025/4/27 2:12:51

前文请查看：

微积分是什么？
柯西的数列极限

最开始我们就提到了，曲线下微小的矩形是“微分”：

把这些“微分”加起来就是“积分”，就可以得到曲线下的面积：

上一章定义了极限，解决了微积分中的第一个问题，什么是“ $\Delta x$ 无限接近0”：

下面我们开始研究数学上什么是“微分”，怎么把“微分”加起来完成“积分”。

1 积分

比如要求 $f(x)=x^2$ ，在 $[0,a],a > 0$ 下的面积：

把 $[0,a]$ 平均分成 $n$ 份，每份长为 $\Delta x=\frac{a-0}{n}=\frac{a}{n}$ ：

这些点的坐标是这么一个数列（把 $0$ 点去掉）：

$\{a_i\}=\left\{\frac{a}{n}, \frac{2a}{n},\cdots, \frac{(n-1)a}{n}, \frac{na}{n}\right\},i=1,2,\cdots,n$

点之间的间隔为 $\Delta x=\frac{a}{n}$ ，所以上述数列可以简写为：

$\{a_i\}=\left\{\Delta x, 2\Delta x, \cdots, (n-1)\Delta x, n\Delta x\right\}$

以这些坐标为终点，宽为 $\Delta x$ ，高为 $f(a_i)$ 作矩形：

每个矩形面积为 $f(a_i)\Delta x$ ，它们的面积和为：

$\begin{aligned} S_n &=\sum_{i=1}^n f(a_i)\Delta x\\ \\ &=(\Delta x)^2\Delta x+(2\Delta x)^2\Delta x+\cdots+[(n-1)\Delta x]^2\Delta x+(n\Delta x)^2\Delta x\\ \\ &=[1+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2](\Delta x)^3\end{aligned}$

已知其中的级数：

$1+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

所以上面的式子继续算下去：

$\begin{aligned} S_n &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(\Delta x)^3\\ \\ &=\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\right)(\Delta x)^3\end{aligned}$

因为 $\Delta x=\frac{a}{n}$ ，代入上式可得：

$S_n=\sum_{i=1}^n f(a_i)\Delta x=a^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)$

当 $n\to\infty$ 的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

从数学上就是，曲面下面积 $S$ 为：

$\begin{aligned} S=\lim_{n\to\infty}S_n &=\lim_{n\to\infty}\left[a^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)\right]\\ \\ &=\frac{1}{3}a^3\end{aligned}$

在极限的帮助下，算出了曲面下的面积。

2 新的开始

既然得到了曲面下的面积了，是不是微积分课程完了？并没有，实际上刚刚开始。

2.1 计算复杂

上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。

博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里（1598 －1647），意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法，那时候还没有极限，他是直觉地认为当 $n$ 足够大时：

$a^3\left(\frac{1}{3}-\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}}_{可以忽略}\right)=\frac{1}{3}a^3$

把矩形面积加起来就需要计算级数（级数就是数列的和），但级数的计算往往很复杂。

这种计算方法简单粗暴，比如，想求正弦函数曲线下 $[0,\pi]$ 之间的面积，也可以通过矩形和来计算，但是计算起来并不简单（详细计算步骤可以查看这里）：

欧拉就是一个级数计算大师，当时很多数学家求“积分”时，算不出级数就向欧拉求救，所以有句话是这么说的：“欧拉，他是所有人的老师”（出自另外一位数学家拉普拉斯之口）。

2.2 不够抽象

之前说了，可以用内接多边形来逼近圆的面积：

也可以换个思路，用小三角形的和来逼近圆的面积：

“圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工，但毕竟三角形和矩形还是不一样，能否把这两者统一起来？

还有，能不能用微积分来计算一段曲线的长度（马上就可以看到如何去做）：

例子可能举得还不够好、不够多，但可以看出目前所学的微积分还不够抽象，不足以解决更多问题。

2.3 小结

不管是为了计算更加简便，还是为了扩大微积分的应用范围，我们都需要开始新的学习。

3 微分

不管为了计算的便利性，还是覆盖更多的应用场景，都需要把“微分”这个概念抽象出来。

3.1 矩形微分

比如，想求 $[a,b]$ 区间内 $f(x)$ 曲线下的面积 $S$ ：

把 $[a,b]$ 平均分成 $n$ 份，每份长为 $\Delta x=\frac{a-b}{n}$ ，每个 $\Delta x$ 对应一个 $\Delta S_i$ ：

很显然：

$S=\sum_{i=1}^n \Delta S_i$

从里面随便选一份，为了表示一般性，其面积记为 $\Delta S$ ：

在同样的位置，以 $\Delta x$ 为底、 $f(x_0)$ 为高作矩形，其面积记为 $\textrm{d}S$ ：

很显然，随着 $\Delta x\to 0$ ， $\Delta S$ 与 $\textrm{d}S$ 会无限接近：

实际上两者都是无穷小：

$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta S=0=\lim_{\Delta x\to 0}\textrm{d}S$

$\Delta S$ 与 $\textrm{d}S$ 有各自的名字（命名的来由可以查看这里）：

“微分”是对“差分”的近似，以“直”代“曲”（“微分”就是“直”，“差分”就是“曲”），也叫做线性近似：

$微分\approx 差分$

在极限下有（因为 $\Delta x=\frac{a-b}{n}$ ，所以 $\Delta x\to 0$ 相当于 $n\to\infty$ ）：

$S=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^n \textrm{d}S_i$

其中， $\textrm{d}S_i$ 对应之前的 $\Delta S_i$ 。

稍微总结下：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad\quad&\quad\color{blue}{差分}\quad&\quad\color{orange}{微分}\quad \\ \hline \\ \quad符号 \quad&\quad \Delta S \quad&\quad \textrm{d}S\quad\\ \quad求和 \quad&\quad \displaystyle S=\sum_{i=1}^n \Delta S_i \quad&\quad \displaystyle S=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^n \textrm{d}S_i\quad\\ \\\hline\end{array}$