微分是什么?

article/2025/4/4 3:19:46

前文请查看:

  • 微积分是什么?
  • 柯西的数列极限

最开始我们就提到了,曲线下微小的矩形是“微分”:

把这些“微分”加起来就是“积分”,就可以得到曲线下的面积:

上一章定义了极限,解决了微积分中的第一个问题,什么是“\Delta x 无限接近0”:

下面我们开始研究数学上什么是“微分”,怎么把“微分”加起来完成“积分”。

1 积分

比如要求f(x)=x^2 ,在[0,a],a > 0 下的面积:

[0,a] 平均分成n 份,每份长为\Delta x=\frac{a-0}{n}=\frac{a}{n} :

这些点的坐标是这么一个数列(把0 点去掉):

\{a_i\}=\left\{\frac{a}{n}, \frac{2a}{n},\cdots, \frac{(n-1)a}{n}, \frac{na}{n}\right\},i=1,2,\cdots,n

点之间的间隔为\Delta x=\frac{a}{n} ,所以上述数列可以简写为:

\{a_i\}=\left\{\Delta x, 2\Delta x, \cdots, (n-1)\Delta x, n\Delta x\right\}

以这些坐标为终点,宽为\Delta x ,高为f(a_i) 作矩形:

每个矩形面积为f(a_i)\Delta x ,它们的面积和为:

\begin{aligned}    S_n        &=\sum_{i=1}^n f(a_i)\Delta x\\        \\        &=(\Delta x)^2\Delta x+(2\Delta x)^2\Delta x+\cdots+[(n-1)\Delta x]^2\Delta x+(n\Delta x)^2\Delta x\\        \\        &=[1+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2](\Delta x)^3\end{aligned}

已知其中的级数:

1+2^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

所以上面的式子继续算下去:

\begin{aligned}    S_n        &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(\Delta x)^3\\        \\        &=\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\right)(\Delta x)^3\end{aligned}

因为\Delta x=\frac{a}{n} ,代入上式可得:

S_n=\sum_{i=1}^n f(a_i)\Delta x=a^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)

n\to\infty 的时候,矩形面积和就是曲面下的面积:

从数学上就是,曲面下面积S 为:

\begin{aligned}    S=\lim_{n\to\infty}S_n        &=\lim_{n\to\infty}\left[a^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)\right]\\        \\        &=\frac{1}{3}a^3\end{aligned}

在极限的帮助下,算出了曲面下的面积。

2 新的开始

既然得到了曲面下的面积了,是不是微积分课程完了?并没有,实际上刚刚开始。

2.1 计算复杂

上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。

博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里(1598 -1647),意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法,那时候还没有极限,他是直觉地认为当n 足够大时:

a^3\left(\frac{1}{3}-\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}}_{可以忽略}\right)=\frac{1}{3}a^3

把矩形面积加起来就需要计算级数(级数就是数列的和),但级数的计算往往很复杂。

这种计算方法简单粗暴,比如,想求正弦函数曲线下[0,\pi] 之间的面积,也可以通过矩形和来计算,但是计算起来并不简单(详细计算步骤可以查看这里):

欧拉就是一个级数计算大师,当时很多数学家求“积分”时,算不出级数就向欧拉求救,所以有句话是这么说的:“欧拉,他是所有人的老师”(出自另外一位数学家拉普拉斯之口)。

2.2 不够抽象

之前说了,可以用内接多边形来逼近圆的面积:

也可以换个思路,用小三角形的和来逼近圆的面积:

“圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工,但毕竟三角形和矩形还是不一样,能否把这两者统一起来?

还有,能不能用微积分来计算一段曲线的长度(马上就可以看到如何去做):

例子可能举得还不够好、不够多,但可以看出目前所学的微积分还不够抽象,不足以解决更多问题。

2.3 小结

不管是为了计算更加简便,还是为了扩大微积分的应用范围,我们都需要开始新的学习。

3 微分

不管为了计算的便利性,还是覆盖更多的应用场景,都需要把“微分”这个概念抽象出来。

3.1 矩形微分

比如,想求[a,b] 区间内f(x) 曲线下的面积S :

[a,b] 平均分成n 份,每份长为\Delta x=\frac{a-b}{n} ,每个\Delta x 对应一个\Delta S_i :

很显然:

S=\sum_{i=1}^n \Delta S_i

从里面随便选一份,为了表示一般性,其面积记为\Delta S :

在同样的位置,以\Delta x 为底、f(x_0) 为高作矩形,其面积记为\textrm{d}S :

很显然,随着\Delta x\to 0 ,\Delta S 与\textrm{d}S 会无限接近:

实际上两者都是无穷小:

\lim_{\Delta x\to 0}\Delta S=0=\lim_{\Delta x\to 0}\textrm{d}S

\Delta S 与\textrm{d}S 有各自的名字(命名的来由可以查看这里): 

“微分”是对“差分”的近似,以“直”代“曲”(“微分”就是“直”,“差分”就是“曲”),也叫做线性近似:

微分\approx 差分

在极限下有(因为\Delta x=\frac{a-b}{n} ,所以\Delta x\to 0 相当于n\to\infty ):

S=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^n \textrm{d}S_i

其中,\textrm{d}S_i 对应之前的\Delta S_i 。

稍微总结下:

\begin{array}{c|c}    \hline    \quad\quad&\quad\color{blue}{差分}\quad&\quad\color{orange}{微分}\quad \\    \hline \\    \quad符号 \quad&\quad \Delta S \quad&\quad \textrm{d}S\quad\\     \quad求和 \quad&\quad \displaystyle S=\sum_{i=1}^n \Delta S_i \quad&\quad \displaystyle  S=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^n \textrm{d}S_i\quad\\    \\\hline\end{array}

3.2 三角形微分

要求圆的面积S :

同样的可以把它均分为n 个扇形:

很显然,也可以用三角形去近似这些扇形:

这里,小扇形就是“差分”,小三角形就是“微分”,以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。

3.3 切线微分

要求这条曲线的长度:

可以把它均分为n 个曲线段:

也可以用切线段(切线之后就会介绍)来近似这些曲线段:

划分细点的话,更容易看出两者的相似性:

这里,曲线段就是“差分”,切线段就是“微分”,以切线段的“直”去代替曲线段的“曲”。

3.4 小结

“微分”是“差分”的线性近似,是对“以直代曲”思想的数学表达。

有了“微分”之后,上述几种“积分”(包括面积、曲线长度等)就可以统一表示为:

积分=\lim\sum 微分

上述几种“微分”的严格定义不尽相同,这里暂不给出,后面不断完善。

最新的文章请查看这里(可能有后续更新):微分是什么?


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