前文请查看:
- 微积分是什么?
- 柯西的数列极限
最开始我们就提到了,曲线下微小的矩形是“微分”:
把这些“微分”加起来就是“积分”,就可以得到曲线下的面积:
上一章定义了极限,解决了微积分中的第一个问题,什么是“ 无限接近0”:
下面我们开始研究数学上什么是“微分”,怎么把“微分”加起来完成“积分”。
1 积分
比如要求 ,在
下的面积:
把 平均分成
份,每份长为
:
这些点的坐标是这么一个数列(把 点去掉):
点之间的间隔为 ,所以上述数列可以简写为:
以这些坐标为终点,宽为 ,高为
作矩形:
每个矩形面积为 ,它们的面积和为:
已知其中的级数:
所以上面的式子继续算下去:
因为 ,代入上式可得:
当 的时候,矩形面积和就是曲面下的面积:
从数学上就是,曲面下面积 为:
在极限的帮助下,算出了曲面下的面积。
2 新的开始
既然得到了曲面下的面积了,是不是微积分课程完了?并没有,实际上刚刚开始。
2.1 计算复杂
上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。
博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里(1598 -1647),意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法,那时候还没有极限,他是直觉地认为当 足够大时:
把矩形面积加起来就需要计算级数(级数就是数列的和),但级数的计算往往很复杂。
这种计算方法简单粗暴,比如,想求正弦函数曲线下 之间的面积,也可以通过矩形和来计算,但是计算起来并不简单(详细计算步骤可以查看这里):
欧拉就是一个级数计算大师,当时很多数学家求“积分”时,算不出级数就向欧拉求救,所以有句话是这么说的:“欧拉,他是所有人的老师”(出自另外一位数学家拉普拉斯之口)。
2.2 不够抽象
之前说了,可以用内接多边形来逼近圆的面积:
也可以换个思路,用小三角形的和来逼近圆的面积:
“圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工,但毕竟三角形和矩形还是不一样,能否把这两者统一起来?
还有,能不能用微积分来计算一段曲线的长度(马上就可以看到如何去做):
例子可能举得还不够好、不够多,但可以看出目前所学的微积分还不够抽象,不足以解决更多问题。
2.3 小结
不管是为了计算更加简便,还是为了扩大微积分的应用范围,我们都需要开始新的学习。
3 微分
不管为了计算的便利性,还是覆盖更多的应用场景,都需要把“微分”这个概念抽象出来。
3.1 矩形微分
比如,想求 区间内
曲线下的面积
:
把 平均分成
份,每份长为
,每个
对应一个
:
很显然:
从里面随便选一份,为了表示一般性,其面积记为 :
在同样的位置,以 为底、
为高作矩形,其面积记为
:
很显然,随着 ,
与
会无限接近:
实际上两者都是无穷小:
与
有各自的名字(命名的来由可以查看这里):
“微分”是对“差分”的近似,以“直”代“曲”(“微分”就是“直”,“差分”就是“曲”),也叫做线性近似:
在极限下有(因为 ,所以
相当于
):
其中, 对应之前的
。
稍微总结下:
3.2 三角形微分
要求圆的面积 :
同样的可以把它均分为 个扇形:
很显然,也可以用三角形去近似这些扇形:
这里,小扇形就是“差分”,小三角形就是“微分”,以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。
3.3 切线微分
要求这条曲线的长度:
可以把它均分为 个曲线段:
也可以用切线段(切线之后就会介绍)来近似这些曲线段:
划分细点的话,更容易看出两者的相似性:
这里,曲线段就是“差分”,切线段就是“微分”,以切线段的“直”去代替曲线段的“曲”。
3.4 小结
“微分”是“差分”的线性近似,是对“以直代曲”思想的数学表达。
有了“微分”之后,上述几种“积分”(包括面积、曲线长度等)就可以统一表示为:
上述几种“微分”的严格定义不尽相同,这里暂不给出,后面不断完善。
最新的文章请查看这里(可能有后续更新):微分是什么?