什么是微分？导数和微分的区别是什么？微分和积分的联系？

article/2025/4/4 3:24:06

看之前推荐您阔以拿一只笔和一张纸，遇到看不懂的就画一画，增量啊什么的，会好理解很多。

先总的抽象地说一下微分是什么，假设有一个函数y=f(x)。假设y轴上有一个增量，把这个增量叫做Δy。字面上理解，什么是增量？就是增大的量，那么可以这么用式子表示，Δy = f(x+Δx) - f(x)，Δx是一个x轴上的相对于x的增量。当Δx无限接近于0的时候，Δy就是微分，记为dy。为什么当Δx无限接近于0的时候，这个增量就是微分呢？继续往下看，图1部分有解释。

导数的定义式子：f '(x0) = ；，，，这里前面写错了，是delta y/delta x

导数表示函数某一点的斜率，上面的定义式子表示的就是导数在x0点的斜率，

微分是什么？微分数学上用dy 来表示。

结合下列式子和高中知识认真研究图1，看明白了也就知道微分时啥了。

f '(x0) =

$\Delta y$ = f(x0+ $\Delta x$ )-f(x0)

微分定义式子：dy=f '(x0) * $\Delta x$ ；

$\Delta x$ 就是dx，他们是一个意思，但是dy不是 $\Delta y$ ，从图中就能看出来dy不是 $\Delta y$ ，dy是微分，从图中可见也就是切线的增量， $\Delta y$ 则是原函数的增量。但是当 $\Delta$ x->0的时候 dy= $\Delta y$ ,这个很好理解，仔细想一想当 $\Delta$ x->0的时候， $\Delta y$ 和dy的差距不救也趋于0了么。另外特殊的有，当原函数f(x)是一次线性函数的时候dy= $\Delta y$ 。

总结：导数和微分完全是两个东西，导数用来表示f(x)在某点的斜率，而微分表示的是在切线上的增量，也就是图中的dy那一部分。这么一看感觉还是有点模糊，但其实，还是要放到 $\Delta x\rightarrow 0$ 的环境下来看，我们研究微分不就是 $\Delta x\rightarrow 0$ 么，图是将 $\Delta x$ 放大了看的结果。当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，dy= $\Delta y$ =函数的x从x0增加到x0+ $\Delta x$ 时对应的增量。

微分和积分的关系：

结合积分，积分和微分是一个互逆的运算，假设 $\int f'(x)dx = f(x)$ , f'(x)dx就是微分dy(看上头的图，斜率乘dx就是dy)，那么变成 $\int dy = f(x)$ ，微分号和积分号抵消，也就是对原函数微分一下，再积分一下，那么上式变成y=f(x)，也就是变回了原函数，说明微分和积分是互逆的运算。