【数学】微分（Differential）的定义，微分与导数的区别

article/2025/3/1 15:12:48

本文会详细的定义微分，并结合导数的概念，详细的说明二者的差别。

如上图所示，对于函数y=f(x)来说，在任意一点p(x, y)上，若x方向上有增量 $\Delta x$ ，则在y的方向上有增量 $\Delta y$ ，当 $\Delta x \to 0$ 时，导数的定义为

${y}'={f(x)}'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

可见导数关心的是当x发生变化时，y发生变化这二者之间的比率。而微分的定义为当x发生微小变化 $dx$ 时，在y方向上发生的微小变化 $dy$ ，由导数公式我们来看

${f(x)}'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ，则可以有 $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x)=0$ 则有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x)=a$ ， $\lim_{\Delta x\to 0}a = 0$

则最终有： $\Delta y = f'(x_{0})\Delta x + o(\Delta x)$ （式一）

其中 $o(\Delta x)$ 为 $\Delta x$ 的高阶无穷小，含义为当 $\Delta x$ 在 $x_{0}$ 处向0收敛时，则 $o(\Delta x)$ 更快的向0收敛，由此y方向上的变化率 $\Delta y$ 表现为与 $\Delta x$ 的线性关系。则可以看出 $f'(x)$ 是f(x)在 $x_{0}$ 处的导数，是个不依赖 $\Delta x$ 的固定值，当满足（式一）时，我们称y=f(x)在 $x_{0}$ 处是可微的，而dy= $f'(x_{0})\Delta x$ 称为y=f(x)在 $x_{0}$ 处的微分。

而x方向上的变化率dx= $\Delta x$ 则 $dy=f'(x_{0})dx$ 就是基本的微分公式。相对比式一，我们相差了 $o(\Delta x)$ ，也即微分是个近似值。我们来看 $y=x^{2}$ 这个函数的微分：

$\Delta y=\lim_{\Delta x \to 0}(f(x+\Delta x)-f(x)) =\lim_{\Delta x \to 0}(x^{2}+2x\Delta x+\Delta x^{2}-x^{2}) =\lim_{\Delta x \to 0}(2x\Delta x+\Delta x^{2})$