高数 | 【一元函数微分学】一元函数微分的本质 导数与微分的区别

article/2025/4/4 3:24:52

一、微分的本质

微分本质是一个微小的线性变化量,是用一个线性函数作为原函数变化的逼近(或者叫近似)。

现在我们将 定义为dy。而 表示的是函数值的变化,显然dy的真正含义是对这种变化的逼近。也就是说我们定义微分,就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。

从上面你可以明白两件事:

第一:微分,即dy,不是一个符号哦,是真的有具体值的,它的值为

第二:观察下 ,显然是一个关于 的线性函数,因此微分是其实在一点处,用一个线性函数的变化来逼近函数的变化,线性的东西,其规律好掌握。


那么我们根据 还可以推导出更多东西

比如令里面的y为x,则可以得到 那么x的微分也就出来了。

说白了,dy和dx表示的就是y和x的变化量,是一种具体的量,跟我们通常理解的变化差额没什么本质区别,只不过因为 趋近0这种极限的性质,让他变得特殊一点而已。因此我们在数学上给他起个牛逼的代号,微分!以后用到微分的地方太多了,所以要起名字。

好,那么根据我们的定义,导数和微分的关系自然而然就出来了,由 ,自然就得到

是不是觉得导数和微分的关系其实也没有那么神秘,这一切都只源于那些数学大家的定义而已。所谓定义,肯定是人为的了,没什么道理可讲。

从上面微分的提出过程我们可以到,是沿着极限、导数、微分这个次序来架构的。因此可以说极限是导数和微分的基石。然后在历史上,可不是这样子的,甚至因此而引发了第二次数学危机呢!

这就得联系到开头我提到的那个例子,它的做法到底是对的还是错的呢?好像大多数同学都喜欢这么做。其实是按照目前的微积分体系来看,是错误的。为什么呢?这就要从微分的发展历史来说了。

 二、导数和微分的区别

导数:是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。
微分:是指函数在某一点处(趋近于无穷小)的变化量,是一种变化的量。

 

而对于多元函数而言,全微分就是指在各个自变量处的微分的和。也就是说总的变化量指各个分变化量的和,这样子就比较容易理解了。比如三元函数,所以dz=zxdx+zydy。

导数和微分的关系类似于速度和路程。也就是说两个变化量之间的比值为衡量变化快慢的变化率。比如速度就是路程的变化量和时间的变化量的比值。而对于一元导数就为y的变化量dy与x的变化量dx之间的比值。

摘录于

一元函数微分的本质 - 知乎


http://chatgpt.dhexx.cn/article/88q2R5JH.shtml

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