在我们所讨论的三度空间（三维）中，能够出现的微分形式只有四种：
零次微分形式——函数 f
一次微分形式——线积分中出现的微分dx,dy,dz的一次式
二次微分形式——面积分中出现的微分dx,dy,dz的二次式
三次微分形式——体积分中出现的微分dx,dy,dz的三次式
注意：以上微分形式中至少有两个相同的dx,dy,dz项，每一个形式中只包含具有不同的dx,dy,dz的项。
我们还知道联系这些线、面、体积分的三个基本公式：
Green公式：
其中D为L围成的闭区域，P、Q为D上的具有一阶连续偏微商的函数。
Gauss公式：
其中V为封闭曲面∑围成的闭区域，函数P、Q、R为V上有一阶连续偏微商的函数。
Stokes公式：
其中封闭曲线L为曲面∑的边界，P、Q、R为V上有一阶连续偏微商的函数。
那么上述三个公式之间有什么联系？
这就是本文所要关注的。
我们也很容易联想到上述三个公式的更一般形式的物理意义，即场论中的三个度——梯度、旋度、散度
设 u 为数量场，v = Pi + Qj + Rk 为矢量场。
梯度：
旋度：
散度：
这些度都是怎样产生的？有何数学意义？
这也是本文所要关注的。
单变量微积分有Newton-Leibniz公式，即微分与积分是一对对立统一的运算
多变量微积分中微分、积分的对立统一是怎样体现的？
这又是本文所要关注的。
怀着这三种疑惑，我们开始观察这些积分。
容易发现，
第二型线、面积分的积分区域都是有方向的。
然后容易想到可以把一重积分、二重积分看作第二型线、面积分的特例：积分区域也有方向。
三重积分同理也可定向。
所以，曲线长度因方向不同被定义成正负，亦如单变量微积分中的这个性质。
关于曲面，
定向是分为内外侧（看课本定义，即法线从起点连续移动直到回到起点，根据法线方向是否改变来为曲面定向）
（不可定向的曲面典型就是著名的莫比乌斯带。）
来张图吧
莫比乌斯带——不可定向
那么我们在这里只能讨论可定向的曲面咯。
所以，曲面面积在面积元素定向后因方向不同被被定义成正负。
根据二重积分定义，再将面积元素进行变元变换（看课本定义，不详细写）
当时是为了保持面积元素始终为正，而对式中Jacobi行列式取了绝对值。
但是现在，面积元素被允许有正负了，就没必要取绝对值了，就变成了这样
其中D已定向，D’是D经过变元逆变换得到的区域，自然是定向了的。
所以，
观察此式的性质
（i）如果取y = x,则有
（ii）如果将y，x互换，则有
此时，dydx≠dxdy,即dx,dy在乘积中次序不能颠倒，否则就是正负的差别。
满足上述两条的微分乘积被称为微分的外乘积，记为
即 和
第二条和普通的微分乘积不同。
外微分形式：
由微分的外乘积乘函数组成的微分形式：
若P、Q、R、A、B、C、H为x,y,z的函数，
一次外微分形式：
二次外微分形式：
三次外微分形式：
接下来易证得三个外微分形式λ，µ，ν的外乘积满足分配律、结合律，但不满足交换律。（证明比较简单但编辑起来略繁就不贴了）：
如果λ，µ，ν是任意三个外微分形式
分配律：
交换律：
不满足结合律：
若µ为p次外微分形式，λ为q次外微分形式
这些定律用于后期推广证明。
容易联想到
外微分可类比为：矢量外乘积
为了便于推广，我们可根据形式定义算子。
因此我们根据外微分形式ω定义外微分算子d,
零次外微分形式 函数 f 定义为
，其实这里就是普通的全微分算子
一次外微分形式 ，定义为
由于
所以
由于
所以
二次外微分形式 ，定义为
同理易得
三次外微分形式 ，定义为
同理，由于
所以
为什么等于零？因为每一项中至少有两个微分是相同的
所以，在三维空间中任意的三次外微分形式的外微分是零
外微分算子和普通微分算子运算方式相同，唯一的不同就是外微分算子运算后进行外乘积，而普通微分算子运算后进行正常的乘积。
于是我们得到了零次、一次、二次、三次外微分算子。
接下来，
设零次外微分形式ω=f,
就有
然后
由于
所以
假设f具有二阶连续偏微商，则有
所以
一次外微分形式
于是
二次外微分形式
易得
三次外微分形式
易得
这就是Poincaré引理：
若ω为一个外微分形式，其微分形式的系数具有二阶连续偏微商，则。
那么Poincaré引理的逆定理是否成立呢？成立。
先阐述Poincaré引理之逆：
若ω是一个p次外微分式且，则存在一个p-1次外微分形式 a，使
。
其实我们学习场论中的有势场、管型场时已经证明过了。
这里具体不贴了。
引入外微分后，接下来回到之前的疑惑之一——场论中的三个度究竟是什么含义，还有没更多的度？
先将三个度化成外微分形式，观察其意义。
零次外微分形式 ω = f, 零次外微分形式的外微分
又 f 的梯度为
所以梯度与零次外微分形式的外微分相对应。
一次外微分形式的外微分
又矢量 的旋度为
所以旋度与一次外微分形式的外微分相对应。
二次外微分形式的外微分
又矢量的散度
所以散度与二次外微分形式的外微分相对应。
三次外微分形式的外微分在三维空间中为零。
所以没有相对应的度。
三维空间里，也没有更多的度了。
综上，就是如下
外微分形式的次数 度
0 梯度
1 旋度
2 散度
转载自
那么，Poincaré引理与Poincaré引理之逆也有其场论意义了：
易得
Poincaré引理中
当ω为零次外微分形式ω = f,有
即
当ω为一次外微分形式，记
，有
即
Poincaré引理之逆中
等价于
即必有
等价于
即必有
回到剩下两个疑惑——三个公式与高维空间中微分积分的关系
现将三个公式写成外微分形式。
Green公式
记，为一次外微分形式，于是
又线积分L可定向，所以该公式可写成
同理，Gauss公式
又Σ定向，所以记
该公式可写成
同理Stokes公式
又线、面积分都为定向，将看作一次外微分形式
所以该公式可写成
综上，可以看出，Green公式、Gauss公式、Stokes公式实际上是一个公式
其中ω为外微分形式，dω为ω的外微分，Σ为dω的封闭积分区域，∂Σ为Σ的边界，∫为区域有多少维数即多少重数。
含义：
高次的外微分形式dω在区域上的积分等于低一次的外微分形式ω在区域的低一维空间边界上的积分。
外微分运算和积分是相互抵消的，亦如一维空间中Newton-Leibniz公式。
由于三维空间中三次外微分形式的外微分为零，所以有了这个公式以后，区分区域和边界的公式就不再有了。
这个公式就是广义的Stokes公式
再写一遍
这个公式还可以推广到更一般的流形上（这个未来再说）
综上，在三维空间中，
外微分形式的次数 空间 公式
0 直线段 Newton-Leibniz公式
1 平面区域 Green公式
1 空间曲面 Stokes公式
2 空间中区域 Gauss公式
