一、反对称矩阵
定义运算 ⋅ ~ \tilde{\cdot} ⋅~ 为：
l ~ = ( 0 − c b c 0 − a − b a 0 ) \tilde{l} = \begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \end{pmatrix} l~=⎝⎛0c−b−c0ab−a0⎠⎞
其中
l = [ a b c ] l = \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix} l=⎣⎡abc⎦⎤
二、叉乘（外积、向量积）
该运算定义为：
a × b = ( a , b , c ) × ( x , y , z ) = （ b z − c y , c x − a z , a y − b x ） a\times b = (a,b,c)\times(x,y,z) = （bz-cy, cx-az, ay-bx） a×b=(a,b,c)×(x,y,z)=（bz−cy,cx−az,ay−bx）
我们将最后一个等号写成矩阵相乘的形式：
a × b = ( 0 − c b c 0 − a − b a 0 ) ( x y z ) a\times b = \begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} a×b=⎝⎛0c−b−c0ab−a0⎠⎞⎝⎛xyz⎠⎞
你会发现，
a × b = a ~ b a\times b = \tilde a b a×b=a~b
即 a a a与 b b b的外积，等于 a a a的反对称矩阵与 b b b的乘积
三、向量微分
定义 x ( s ) x(s) x(s)是一个{F}坐标系下的向量，其关于变量s的微分如下：
d F x d s = d [ F x ( s ) ] d s = [ d x 1 ( s ) d s d x 1 ( s ) d s d x 1 ( s ) d s ] \frac{d_Fx}{ds} = \frac{d[^Fx(s)]}{ds} = \begin{bmatrix} \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \end{bmatrix} dsdFx=dsd[Fx(s)]=⎣⎢⎡dsdx1(s)dsdx1(s)dsdx1(s)⎦⎥⎤
则 x ( s ) x(s) x(s)在{G}坐标系下关于s的微分可表示为：
G d F x d s = G R F F d F d s \frac{^Gd_F x}{ds} = _{}^{G}\textrm{R} _F \frac{^Fd_F}{ds} dsGdFx=GRFdsFdF
式中 R R R为旋转矩阵
旋转矩阵的微分
并非每一时刻的旋转矩阵都是一致的
因此，旋转矩阵对时间的微分为：
d F R G d t = F ω ~ F R G = F R G G ω ~ \frac{d^FR_G}{dt} = ^F \tilde \omega ^FR_G = ^FR_{G}\\ ^G \tilde \omega dtdFRG=Fω~FRG=FRGGω~
