两向量的向量积

两向量 a 与 b 的向量积（外积）是一个向量，记做 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 或 $[\mathbf{a}\mathbf{b}]$，它的模是
$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \angle (\mathbf{a},\mathbf{b})$$
它的方向与 a 和 b 都垂直，并且按 a, b, $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 这个顺序构成右手标架 { O ; a , b , a × b } \{O;\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}\} {O;a,b,a×b}

• 两个不共线向量 a 与 b 的向量积的模，等于以 a 与 b 为边所构成的平行四边形的面积
  

• 两向量 a 与 b 共线的充分必要条件是 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$
  当 a 和 b 共线时，$\sin \angle (\mathbf{a},\mathbf{b})=0$或者至少一个为零向量; 当$\sin \angle (\mathbf{a},\mathbf{b})=0$时或者其至少一个为零向量，a 和 b 共线

• 向量积是 反交换 的： $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$

• 向量积满足关于数因子的结合律： $\lambda (\mathbf{a}\mathbf{b})=(\lambda \mathbf{a})\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times (\lambda \mathbf{b})$

• 向量积满足分配律：$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times \mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{c}+\mathbf{b}\times \mathbf{c}$

  $\mathbf{c}\times (\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}\times \mathbf{c}+\mathbf{b}\times \mathbf{c}$同样成立
  
  
  先证明$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times {\mathbf{c}}^0=\mathbf{a}\times {\mathbf{c}}^0+\mathbf{b}\times {\mathbf{c}}^0$
  利用作图将 ${\mathbf{c}}^0$， a， b，$\mathbf{a}\times {\mathbf{c}}^0$，$\mathbf{b}\times {\mathbf{c}}^0$，$\mathbf{a}+\mathbf{b}$，$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times {\mathbf{c}}^0$的图像画出容易得出$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times {\mathbf{c}}^0=\mathbf{a}\times {\mathbf{c}}^0+\mathbf{b}\times {\mathbf{c}}^0$
  再两边乘以 $|\mathbf{c}|$即可得出

• 如果 $\mathbf{a}=X_1\mathbf{i}+Y_1\mathbf{j}+Z_1\mathbf{k}\mathbf{b}=X_2\mathbf{i}+Y_2\mathbf{j}+Z_2\mathbf{k}$，那么
  $$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{cc}{Y}_1& Z_1\\ Y_2& Z_2\end{array}\right|\mathbf{i}+\left|\begin{array}{cc}{Z}_1& X_1\\ Z_2& X_2\end{array}\right|\mathbf{j}+\left|\begin{array}{cc}{X}_1& Y_1\\ X_2& Y_2\end{array}\right|\mathbf{k}$$
  或则写成
  $$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ X_1& Y_1& Z_1\\ X_2& Y_2& Z_2\end{array}\right|$$