学过微积分的人都知道泰勒展开公式，它是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法，用标准的数学术语来描述是这样的：若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n 1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

泰勒公式形式

其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

1、泰勒公式产生的背景

泰勒当年为什么要发明这条公式？因为当时数学界对简单函数的研究和应用已经趋于成熟，而对于一些复杂函数如 sinx，cosx，e^x等，在计算任意一点如当x=2.3相应的函数值等于多少，这些数据通常需要借助计算器才可以计算出来，而且只是得到一个近似值。因此数学家们就开始了漫长的思考之路，有没有办法跟这些表达式的图像长得差不多的一个多项式函数呢？说白了就是sinx，conx这类函数能不能用多项式去表达呢？这就是泰勒展开式的出发点！换句话说，泰勒展开公式，是对展开点附近的函数，进行的一个“误差可控多项式仿真”。比如按照上述公式，sin(x)的多项式仿真如下，有了下面的多项式仿真表达式，求任意点的函数值就变得非常容易了。</