一、背景

对于一些复杂的函数，通常会找简单的函数做近似，而多项式函数就是常用的一种简单函数。

比如当 $|x|$ 很小时，有以下近似：
$$e^x\approx x+1$$$$ln(x+1)\approx x$$这两个复杂函数都用了一次多项式来近似，显然有：
$$e^x{|}_{x=0}=(x+1){|}_{x=0}(e^x{)}^{\prime }{|}_{x=0}=(x+1{)}^{\prime }{|}_{x=0}$$$$ln(x+1){|}_{x=0}=x{|}_{x=0}[ln(x+1){]}^{\prime }{|}_{x=0}=(x{)}^{\prime }{|}_{x=0}$$但这些近似精确性不高，所产生的误差是关于$x$的高阶无穷小。因此为了更加精确，可以用更高阶的多项式来表示。

二、提出问题

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 有 $n$ 阶导数，

试找出一个关于 $(x-x_0)$ 的 $n$ 次多项式 $P_n$ 来近似表达 $f(x)$。
$$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\dots \dots +a_n(x-x_0{)}^n$$要求：使 $P_n-f(x)$ 为 $x\to x_0$ 时的比 $(x-x_0{)}^n$ 高阶的无穷小。

三、解决问题

设有以下等式成立：
$$P_n(x_0)=f(x_0)$$$$P_n^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$$$$P_n^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)$$$$\dots \dots$$$$P_n^{\left(n\right)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)$$则可以通过对 $P_n$ 求各阶导数来用 $f(x)$ 的各阶导数来表示 $P_n$ 的各项系数：

$$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\dots \dots +a_n(x-x_0{)}^n$$

$$P_n(x_0)=a_0=f(x_0)$$$$P_n^{\prime }(x_0)=1\cdot a_1=f^{\prime }(x_0)$$$$P_n^{\prime \prime }(x_0)=2\cdot 1\cdot a_2=f^{\prime \prime }(x_0)$$$$P_n^{(3)}(x_0)=3\cdot 2\cdot 1\cdot a_2=f^{\prime \prime }(x_0)$$$$\dots \dots$$$$P_n^{(n)}(x_0)=n!a_n=f^{(n)}(x_0)$$
则有：
$$a_0=f(x_0)$$$$a_1=f^{\prime }(x_0)$$$$a_2=\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)$$$$\dots \dots$$$$a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$将这些系数代入多项式 $P_n$ 中得：

问题来了：这个多项式是否是我们要寻找的多项式呢？

这里正好有两个定理可以表明上面的 $P_n(x)$ 就是我们要找的近似多项式：

泰勒中值定理1：

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$，有以下等式成立：
$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{\left(x-x_0\right)}^2+\dots \dots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+R_n(x)$$
其中，$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$

泰勒中值定理2：

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $n+1$ 阶导数，那么对任一 $x\in U(x_0)$，有以下等式成立：
$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{\left(x-x_0\right)}^2+\dots \dots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+R_n(x)$$
其中，$R_n\left(x\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi \right)}{\left(n+1\right)!}{\left(x-x_0\right)}^{n+1}$，$\xi$ 为 $x_0$ 和 $x$ 之间的某个值。

则公式

称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次泰勒多项式。

四、应用——泰勒级数

若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处任意阶可导，则称幂级数
$$\sum _{n=0}^{\text{∞ }}\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n$$为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数。

特别的， $x_0=0$ 处的泰勒级数称为 $f(x)$ 的麦克劳林级数。

注意：这里只是单纯定义了泰勒级数的概念，没有说 $f(x)$ 一定可以展开为泰勒级数！

※ 函数的幂级数展开

设函数 $f(x)$ 在区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 上有定义，若：
$$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\text{∞ }}{a}_n{\left(x-x_0\right)}^n$$对任意的 $x\in (x_0-R,x_0+R)$ 都成立，则称函数
$f(x)$ 在区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 上能展开为 $x-x_0$ 的幂级数。

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内任意阶可导，则
$f(x)$ 在该邻域内能展开为泰勒级数$\iff$ $$\underset{n\to \text{∞ }}{\lim }{R}_n\left(x\right)=\underset{n\to \text{∞ }}{\lim }\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi \right)}{\left(n+1\right)!}{\left(x-x_0\right)}^{n+1}=0$$

几个常用的泰勒展开式 $(x_0=0)$：

f(x)	展开式	求和式	可以展开的范围
$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+\dots \dots$	${\sum }_{n=0}^{\text{∞ }}{x}^n$	$-1<x<1$
$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2+\dots \dots$	${\sum }_{n=0}^{\text{∞ }}(-1{)}^n{x}^n$	$-1<x<1$
$e^x$	$1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\dots \dots$	${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^n$	$-\infty <x<+\infty$
$sinx$	$x-\frac{1}{3!}{x}^3+\dots \dots$	${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$	$-\infty <x<+\infty$
$cosx$	$1-\frac{1}{2!}{x}^2+\dots \dots$	${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}$	$-\infty <x<+\infty$
$ln(1+x)$	$x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\dots \dots$	${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}{x}^n$	$-1<x\le 1$

参考文献

【1】 《高等数学》第7版-同济大学出版社