第六章 二次型

6.1 二次型及其标准形

6.1.1 概念

二次型：什么叫二次型？它是一个多元函数，每一个变量累积的次数为2次。即n个变量的一个二次齐次多项式

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{T}Ax$$
平方项系数在主对角线上，混合项的系数在除2在对角线对称的地方。

标准形：只有二次型的平方项，而不存在混合项。

规范形：标准形的平方项系数只有+1，-1或者0，则称为二次型的规范形。

正惯性指数：标准形里面正平方项的个数，记作p

负惯性指数：标准形里面负平方项的个数，记作q

二次型的秩：也就是矩阵A的秩。
$$r(f)=r(A)=p+q$$
坐标变换：将通过y来表示x。可以写成方程组的形式：

注意，这里的C矩阵的行列式不能等于0

不过一般不写成方程组，一般写成矩阵乘法的形式

再写得简单一点，可以写成
$$x=Cy$$
其中，C是可逆矩阵。

例子：下面的方程组不是坐标变换
$$\{\begin{array}{rl}{y}_1& =x_1+x_2\\ y_2& =x_2-x_3\\ y_3& =x_1+x_3\end{array}$$
因为行列式C = 0

矩阵合同：经过坐标变换，A和B合同。

6.1.2 合同基本性质

• 反身性：A和A自己合同

• 对称性：A合同B，则B合同A

• 传递性：A合同B，B合同C，则A合同C

• 充要条件：两个矩阵合同，它们的充要条件是正惯性指数相同，负惯性指数相同。（即特征值的符号相同）

$$A合同B<=>P_A=P_B且q_A=q_B$$

• 定理1：对于任一n元二次型f = x^TAx，存在正交变换（配方法就不行）x=Qy，其中Q是正交阵，使得二次型f化为标准形
  $$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=A的对角矩阵={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2$$
  此时A和它的对角矩阵，既相似，又合同

• 定理2：任意给定一个实对称矩阵A, 一定存在可逆矩阵C, 使得C^TAC为对角矩阵.

  • 配方法，不会考太难
  • 正交变换法：较难

• 惯性定理：一个二次型f = x^TAx经过坐标变换后转成标准形，它的正惯性指数和负惯性指数都是一样的。

求坐标变换 == 求Q矩阵 == 求A的特征向量 == 是不是要单位向量，正交垂直

任何一个二次型也可以通过配方法，实现化成标准形。用坐标变换，把标准形化成规范形。

6.1.3 题型

• 给出二次型，写出对应的二次型矩阵

  注意对称性，系数除2

• 用配方法化二次型

  把所有含x的项配成一个完全平方，从x1开始配。引入新变量后得到f的标准形

• 用正交变化化 二次型 为标准形

  1. 写出二次型矩阵A
  2. 求A的特征值，代入特征值得到对应的特征向量
  3. 改造特征向量γ1，γ2，γ3（正交化，单位化）
  4. 构建正交矩阵Q = （γ1，γ2，γ3）

• 给出二次型，求对应的正惯性指数

  • 写出二次型矩阵A，计算特征行列式|λE - A|=0，求特征值λ。根据特征值的正负个数求得。

  • 或根据配方法得到的标准形看出正负惯性指数。

• 给出矩阵A，判断与之合同的矩阵B

  AB合同，则正负惯性指数相同。

6.2 正定二次型

6.2.1 概念

理解：只要x不等于0，二次型一定严格大于0

6.2.2 定理

1. 判定矩阵的正定性：计算所有的特征值>0即可。

   

2. 可逆线性变换 不会改变 二次型的正定性

3. f 正定的充要条件：

   • A的正惯性指数 p = n
   • A和单位矩阵E合同
   • A = D^TD ，其中D是一个可逆的矩阵
   • A的全部特征值 > 0
   • A的全部顺序主子式 > 0

4. f 正定的 必要条件

   • A的主对角元素 a_ii > 0
   • A的行列式 |A| > 0

6.3 补充：解题技巧

6.3.1 惯性定理的理解

6.3.2 矩阵合同的充要条件

注意：这里“相似必然合同”的前提是实对称矩阵，更确切的单句说法应该是“实对称矩阵相似一定合同”。

6.3.3 配方法的坐标变换必须可逆

配方法和下一个正交变化都是化标准型的方法。

6.3.4 正交变化化标准型 （😰难）

1. 把 二次型f(x) 转化成 二次型矩阵A
2. 求二次型矩阵对应的特征值 λ1、λ2、λ3。
   可以使用|λE - A|=0
3. 把特征值凑成一个对称阵
4. 反代得到对应的
   
   

6.3.5 求二次型对应的矩阵

6.3.6 曲面集合

柱面

单叶双曲面

下图给出的单叶双曲面是直立的，为上述第一行的方程：

双叶双曲面

辅助记忆

椭球面、单叶双曲面 及 双叶双曲面的惯性指数的符号差分别为 3、1、-1.
如果符号差为2，则代表是柱面。

6.3.6 证明XX矩阵是正定矩阵

假设需要证明$$A^{T}A是正定矩阵$$
第一步：证对称

注意：正定矩阵是二次型的对应矩阵，须先证明对称。
即先说明：这个矩阵的转置是它自己
$$（A^{T}A{）}^T=A^T（A^T{）}^T=A^{T}A$$

第二步：根据矩阵是否抽象，选择不同的方式：

• 如果给出的是抽象矩阵，一般用定义证明：
  $$对于任意非零向量x，恒有x^T(A^{T}A)x>0$$
• 如果给出的是具体的矩阵，就可以算特征值：
  $$所有特征值\lambda >0$$