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前言

一直对二次型和线性代数的关系不解，导致一系列的知识点因为没有理解而常常忘记。 在这里对二次型进行梳理，希望可以加深对二次型的印象。

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二次型是什么？

二次型的目的，是利用矩阵来研究二次方程。
所以它和线性代数本质的关系不大，可以看作是线性代数的一种应用。

二次型：n个变量的一个二次齐次多项式称为n个变量的二次型。

所以我们很自然的想到既然利用矩阵来研究二次方程，那么二次型肯定要用矩阵表示吧。

矩阵表示：

注意：因为$x_1{x}_2=x_2{x}_1$，所以二次型的对应矩阵必须是对称阵，只有对应矩阵为对称阵时，二次型的对应矩阵才是唯一确定的。并且我们这一章主要研究实矩阵，所以二次型在这个阶段都是实对称矩阵。

这样就和上一节接上了，实对称矩阵必定可相似对角化，且有$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$。这又和我们马上要讲的合同矩阵相关(实对称矩阵A必定既相似又合同于对角阵)。

二次型的表示

就是把齐次二次多项式进行分类。二次型$f(x_1,x_2,x_3,x_4,...,x_n)$里面可以分为平方项($x_i^2$)和混合项($x_i{x}_j$)。

• 只有平方项没有混合项的二次型叫做标准形。
• 只有平方项没有混合项，且平方项的系数只有$1,0,-1$时，称作规范形。

定理1：任何一个二次型$f$，必存在一个正交变换$x=Qy$，其中Q为正交阵，使得二次型化为标准型。
因为二次型是实对称矩阵嘛，且有$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$。中间只剩一个$\Lambda$，便是标准型，标准型的系数为矩阵的特征值。

因为二次型是实对称矩阵嘛，且有$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$。中间只剩一个$\Lambda$，便是标准型，标准型的系数为矩阵的特征值。

定理2：任何一个二次型$f$，通过配方法必存在一个可逆线性变换$x=Cy$，其中Q为可逆矩阵，使得二次型化为标准型。

将二次型变为标准形有两种方法，正交变换和配方法。其中通过正交变换，标准型的系数正好是矩阵的特征值，通过配方法，矩阵的系数不一定是特征值。即二次型的标准形是不唯一的，二次型的规范形是唯一的。

要熟练掌握这两种转化的方法，这是二次型中经典的计算题目。

合同矩阵与合同二次型

定义： 设A、B是两个n阶矩阵，若存在可逆阵C，使得$C^{T}AC=B$,则称A合同于B。

充要条件： 矩阵A、B合同当且仅当对应的二次型有相同的正负惯性指数(惯性定理)且$r(A)=r(B)$。

下面摘抄一段来自这里的对矩阵等秩、等价、相似、合同的辨析。

一、矩阵等价、相似和合同之间的du区别：

1. 等价，相似和合同三者都是等价关系。

2. 矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3. 矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4. 矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，$AP=PB$。

5. 矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，$P^{T}AP=B$。

6. 当上述矩阵P是正交矩阵时，即$P^T=P^{-1}$，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1. 矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2. 矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3. 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4. 总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

三、多说一句：

矩阵等价：

1. 同型矩阵而言。

2. 一般与初等变换有关。

3. 秩是矩阵等价的不变量，其次两同型矩阵等价的本质是秩相等。

矩阵相似：

1. 针对方阵而言。

2. 秩相等是必要条件。

3. 本质是二者有相等的不变因子(超纲)。

矩阵合同：

1. 针对方阵而言，一般是对称矩阵。

2. 秩相等是必需条件。

3. 本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同。

通过上述的对比可知，等价关系是三种关系中条件最弱的，合同与相似是特堵的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立，相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵式相似的，那一定是合同的。

正定二次型、正定矩阵

判断矩阵A正定的充要条件：

1. A的正惯性指数$p=r=n$。
2. 矩阵A合同与矩阵E，即$A=D^{T}ED=D^{T}D$。
3. A的全部特征值大于0.
4. A的全部顺序主子式大于零。

判断矩阵A正定的必要条件：

1. A的主对角线元素>0
2. $|A|>0$

二次型的题型

• 判断两矩阵是否是合同矩阵，矩阵看正负惯性指数，二次型看标准型的正负惯性指数。
• 判断平方和二次型是否是正定矩阵，即判断各子式不能同时为零，即构成的矩阵只有零解。
• 判断抽象矩阵是否为正定矩阵，需要满足可逆、对称和全部特征值大于0的条件，或者利用定义。