二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或 二次曲面方程为标准形问题. 这里首先介绍一些 基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一 个二次型化成标准形。
二次曲面
二次型及其标准形的概念
定义
含有n个变量 x 1 , x 2 , . . . , x n x_{1},x_{2},...,x_{n} x1,x2,...,xn的二次齐次函数
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + . . . + a n n x n 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 + . . . + 2 a n − 1 , n x n − 1 x n f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+...+a_{nn}x_{n}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n} f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a22x22+...+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+...+2an−1,nxn−1xn 称为二次型。
只含有平方项的二次型 f = k 1 y 1 2 + k 2 y 2 2 + . . . + k n y n 2 f=k_{1}y_{1}^{2}+k_{2}y_{2}^{2}+...+k_{n}y_{n}^{2} f=k1y12+k2y22+...+knyn2称为二次型的标准形。
二次型的矩阵表示
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + . . . + a n n x n 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 + . . . + 2 a n − 1 , n x n − 1 x n = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n 1 ) ( x 1 x 2 . . . x n ) f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+...+a_{nn}x_{n}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{n1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix} f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a22x22+...+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+...+2an−1,nxn−1xn=(x1,x2,...,xn)⎝⎜⎜⎛a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...an1⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛x1x2...xn⎠⎟⎟⎞
记 A = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n 1 ) , x = ( x 1 x 2 . . . x n ) A= \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{n1} \end{pmatrix},x=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎛a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...an1⎠⎟⎟⎞,x=⎝⎜⎜⎛x1x2...xn⎠⎟⎟⎞
则二次型可记作 f = x T A x f=x^{T}Ax f=xTAx ,其中 A为对称矩阵。
二次型的标准形对应的矩阵是对角矩阵。
f = d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 + . . . + d n y n 2 = ( y 1 y 2 . . . y n ) ( d 1 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 d n ) ( y 1 y 2 . . . y n ) = y T D y f=d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+...+d_{n}y_{n}^{2} =\begin{pmatrix} y_{1} &y_{2} &... &y_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d_{1} &0 &0 &0 \\ 0 &d_{2} &0 &0 \\ 0 &0 &... &0 \\ 0 &0 &0 &d_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{n} \end{pmatrix}=y^{T}Dy f=d1y12+d2y22+...+dnyn2=(y1y2...yn)⎝⎜⎜⎛d10000d20000...0000dn⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛y1y2...yn⎠⎟⎟⎞=yTDy
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 C T A C = B C^{T}AC=B CTAC=B， 则称矩阵A 和 B 合同。
二次型的矩阵A是实对称矩阵，存在正交矩阵Q，使 Q − 1 A Q = Q T A Q = D Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=D Q−1AQ=QTAQ=D为对角阵。
定理 任意n元实二次型 f = x T A x f=x^{T}Ax f=xTAx，都可经正交变换 x ＝ Q y x＝Qy x＝Qy化为标准形。
f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ n y n 2 = y T [ λ 1 . . . λ n ] y f=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+...+\lambda_{n}y_{n}^{2}=y^{T}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & & \\ &... & \\ & &\lambda_{n} \end{bmatrix}y f=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2=yT⎣⎡λ1...λn⎦⎤y
这里 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} λ1,λ2,...,λn为A的全部特征值。
用正交变换化二次型为标准形的步骤：
- 写出二次型 f 的矩阵A；
- 求正交矩阵Q，使得 Q T A Q = D Q^{T}AQ =D QTAQ=D为对角阵；
- 正交变换x =Qy化二次型为标准形 f = y T D y f =y^{T}Dy f=yTDy。
注：用正交变换法求标准型，标准型中平方项的系数就是 矩阵A的特征值，正交变换矩阵Q的各列是分别属于这些 特征值的特征向量，且两者的相对顺序是一致的。
对实二次型 f = x T A x f=x^{T}Ax f=xTAx，用不同的可逆线性变换 均可将其化为标准形，因此其标准形不惟一。但需 要指出的是：尽管标准形不惟一，但标准形中非零平方项的个数唯一确定，它等于二次型的秩r，且 含正号的项的个数（称为正惯性指数）和含负号的 项的个数（称为负惯性指数）都唯一确定.这就是 实二次型的惯性定理。
设实二次型 f ( x 1 , … , x n ) = x T A x f(x1,…,xn)=x^{T}Ax f(x1,…,xn)=xTAx的秩为r,可逆线性变换 x ＝ B y 和 x ＝ C z x＝By和x＝Cz x＝By和x＝Cz分别把它化为标准形
λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ p y p 2 − λ p + 1 y p + 1 2 − . . . − λ r y r 2 ( λ i > 0 , i = 1 , 2 , . . . , r ) \lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+...+\lambda_{p}y_{p}^{2}-\lambda_{p+1}y_{p+1}^{2}-...-\lambda_{r}y_{r}^{2} (\lambda_{i}>0,i=1,2,...,r) λ1y12+λ2y22+...+λpyp2−λp+1yp+12−...−λryr2(λi>0,i=1,2,...,r)及 μ 1 z 1 2 + μ 2 z 2 2 + . . . + μ q z q 2 − μ q + 1 z q + 1 2 − . . . − μ r z r 2 ( μ i > 0 , i = 1 , 2 , . . . , r ) \mu_{1}z_{1}^{2}+\mu_{2}z_{2}^{2}+...+\mu_{q}z_{q}^{2}-\mu_{q+1}z_{q+1}^{2}-...-\mu_{r}z_{r}^{2}(\mu_{i}>0,i=1,2,...,r) μ1z12+μ2z22+...+μqzq2−μq+1zq+12−...−μrzr2(μi>0,i=1,2,...,r)则p=q。
二次型的分类
定义 对于二次型 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = X T A X f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=X_{T}AX f(x1,x2,...,xn)=XTAX如果对于任意一组不全为0的师叔 c 1 , c 2 , . . . , c n c_{1},c_{2},...,c_{n} c1,c2,...,cn
(1) 恒有 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) > 0 f(x_{1},x_{2},...,x_{n})>0 f(x1,x2,...,xn)>0, 则称二次型是正定的，矩阵 A 为正定矩阵;
(2) 恒有 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) < 0 f(x_{1},x_{2},...,x_{n})<0 f(x1,x2,...,xn)<0, 则称二次型是负定的;
(3) 恒有 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ≥ 0 f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\geq 0 f(x1,x2,...,xn)≥0, 则称二次型是半正定的;
(4) 恒有 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ≤ 0 f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq 0 f(x1,x2,...,xn)≤0, 则称二次型是半负定的;
(5) f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) f(x1,x2,...,xn)时正时负, 则称二次型是不定的 。
正定二次型的判定
二次型 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = x T A x f ( x_{1} , x_{2} , … , x_{n} ) = x^{T}Ax f(x1,x2,…,xn)=xTAx 正定。
- 矩阵A正定
- 正惯性指数等于n
- 矩阵A的所有特征值都是正数
- 矩阵A与单位矩阵合同
- 矩阵A的各阶顺序主子式大于0
定理 二次型 f ( x 1 , . . . , x n ) = x T A x f(x_{1},...,x_{n})=x^{T}Ax f(x1,...,xn)=xTAx正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零，即：
a 11 > 0 , ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ , . . . , ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ > 0 a_{11}>0,\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix},...,\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \end{vmatrix}>0 a11>0,∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣,...,∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann∣∣∣∣∣∣∣∣>0
