二分图的最大匹配

article/2025/9/17 10:22:24

一、概念：

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

Bipartite Graph(1) Bipartite Graph(2) Matching Maximum Matching

在图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

二、算法：

求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。

只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。

给一个例子
1、起始没有匹配

2、选中第一个x点找第一跟连线

3、选中第二个点找第二跟连线

4、发现x3的第一条边x3y1已经被人占了，找出x3出发的的交错路径x3-y1-x1-y4，把交错路中已在匹配上的边x1y1从匹配中去掉，剩余的边x3y1 x1y4加到匹配中去

5、同理加入x4,x5。

匈牙利算法可以深度有限或者广度优先，刚才的示例是深度优先，即x3找y1,y1已经有匹配，则找交错路。若是广度优先，应为：x3找y1,y1有匹配，x3找y2。

匈牙利算法的要点如下

从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。

补充定义和定理：

(1)二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。

(2)DAG图的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

(3)二分图的最大独立集

最大独立集问题：在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）

三、代码

/*HDU2063*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn = 505;int map[maxn][maxn];//关系图。//这里我们用1表示有关系0表示没有关系
int vis[maxn];//表示是否询问过这个人 用1表示询问过 0表示没有询问过
int match[maxn];//数组内数据表示匹配关系：比如match[1]=2表示男1和女2约上了（不一定最后也是在一起的）
int k,m,n;int  find(int x)//这里x表示是任何一个女生
{for(int i=1; i<=n; i++) //这里的i表示男生
    {if(vis[i]==0&&map[x][i]==1)//如果这个男生没有询问过,并且你和这个男生认识
        {vis[i]=1;//标记询问过了if(match[i]==-1||find(match[i]))//如果当前女孩纸是来直接找约会对象的，或者是要抛弃当前男孩去找下一个男孩的（而且找到了）。
            {match[i]=x;//当前男生和女生约上了（i男x女）return 1;//返回找到了
            }}}return 0;
}int hungary()
{memset (match,-1,sizeof (match));int output=0;for(int i=1; i<=m; i++){memset(vis,0,sizeof(vis));if(find(i))output++;}return output;
}int main()
{while(~scanf("%d",&k)){if(k==0)break;scanf ("%d%d",&m,&n);memset (map,0,sizeof(map));for(int i=0; i<k; i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);map[a][b]=1;}printf("%d\n",hungary());}
}