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本文是「小孩都看得懂」系列的第十五篇，本系列的特点是内容不长，碎片时间完全可以看完，但我背后付出的心血却不少。喜欢就好！

1. 小孩都看得懂的神经网络

2. 小孩都看得懂的推荐系统

3. 小孩都看得懂的逐步提升

4. 小孩都看得懂的聚类

5. 小孩都看得懂的主成分分析

6. 小孩都看得懂的循环神经网络

7. 小孩都看得懂的 Embedding

8. 小孩都看得懂的熵、交叉熵和 KL 散度

9. 小孩都看得懂的 p-value

10. 小孩都看得懂的假设检验

11. 小孩都看得懂的基尼不纯度

12. 小孩都看得懂的 ROC

13. 小孩都看得懂的 SVD

14. 小孩都看得懂的 SVD 2

15. 小孩都看得懂的 GMM

16. 小孩都看得懂的贝塔分布
    

0

贝塔分布 (beta distribution) 对概率建模得到的一个概率分布。听起来很绕口，下面看一个简单示例。

1

硬币问题

三个有偏 (biased) 硬币，丢它们落下来正面的概率分别是 0.4, 0.6 和 0.8。

如果随机选一个硬币，丢五次，得到“正正正反反 (HHHTT)”，问选中的是哪一个硬币？

2

硬币 2 的正面概率是 0.6 (3/5)，而丢 5 次 3 次朝上正好符合这个 3/5 的概率，那么应该是硬币 2。

但是选中的 100% 的是硬币 2 么？不是！硬币 1 和 3 也有可能被选中，只不过给定 “HHHTT”，选中的概率比选硬币 2 要小。  

要点：给定 HHHTT，硬币 2 最有可能被选中，而硬币 1 和 3 被选中的可能性小一些。没有绝对的，都是概率问题。

3

现在来计算出现 HHHTT 的概率。

• 硬币 1：0.43 × 0.62 = 0.0230

• 硬币 2：0.63 × 0.42 = 0.0346

• 硬币 3：0.83 × 0.22 = 0.0205

最后标准化使得三个概率总和为 1，注意分母是三个概率的和 (spoil alert: 这个概率和贝塔函数有联系)。

最终得到选中每个硬币的概率为 0.295, 0.443 和 0.262。

4

加到十个硬币 (每个硬币丢正的概率从 0, 0.1, 0.2 到 1)，任选一个丢 10 次，得到 7 正 3 反，最优可能是哪个硬币？

7 正 3 反，那么最有可能选到硬币 7 (丢正的概率为 0.7)。

那么其他硬币的呢？也有可能选中，概率计算如下表。

标准化 (除以十个概率的和) 得到下表的结果。

可视化如下。

5

将上例的十个硬币 (丢正概率为 0 到 1) 扩展到无数个硬币 (丢正概率为 p)，那么任取一个硬币丢 10 次得到 7 正 3 反的概率为 p7 × (1-p)3。

将 p 从 0 到 1 分隔很多点 p(i)，对每个 p(i) 计算出 p(i)7 × (1-p(i))3 并画出图。不难发现 p = 0.7 时函数值最高，即最有可能选取“丢正概率为 0.7”的硬币。

当选无限多个点 p(i) 时，就可完全填充曲线下的面积了。

得到的概率值 x7 × (1-x)3 需要被标准化才能得到一个概率分布，而这个面积的大小，在本例中表示为 B(8, 4)，就是用来“标准化”概率除以的那个分母。

为什么表示为 B(8, 4) 而不是 B(7, 3)，这个是惯例，即在丢正的次数 7 和丢反的次数 3 加上 1，记住就行了。

6

这样  x7(1-x)3 / B(8, 4) 就构成了一个概率分布，即贝塔分布。

将具体“丢正的次数 7 和丢反的次数 3”分别用 a 和 b 表示，那么通用的贝塔分布的概率分布函数为 xa(1-x)b / B(a+1, b+1)。

7

现在假设观测到以下三种情况：

1. 7 正 3 反
   

2. 70 正 30 反

3. 700 正 300 反

很显然最有可能选取的硬币的丢正概率都为 0.7，但哪种情况最有信心来声称选取的硬币的丢正概率都为 0.7？

简单，将三种情况下的贝塔分布图画出即可。

三幅图相同的是，函数最大值都发生在 p = 0.7 时。

三幅图不同的是，从左到右来看，峰越来越尖，展开越来越窄，即越来越有信心声称选取的硬币的丢正概率为 0.7。

朋友们，你们弄懂了贝塔分布吗？

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5. 函数上：低阶函数

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