二次型的正定

article/2025/10/2 19:16:21

实数二次型的类型

设f(x_{1},x_{2}...x_{n})=X^{T}AX为一个实二次型，若\forall X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix}\neq 0

自变量x_{1},x_{2}...x_{n}不全为0

若f(x_{1},x_{2}...x_{n})=X^{T}AX> 0恒成立，则称f为一个正定二次型，称A为正定矩阵

若f(x_{1},x_{2}...x_{n})=X^{T}AX\geq 0恒成立，则称f为一个半正定二次型，称A为半正定矩阵

若f(x_{1},x_{2}...x_{n})=X^{T}AX< 0恒成立，则称f为一个负定二次型，称A为负定矩阵

若f(x_{1},x_{2}...x_{n})=X^{T}AX\leq 0恒成立，则称f为一个半负定二次型，称A为半负定矩阵

定理：\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} & a_{13}\\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

若f=X^{T}AX正定\Leftrightarrow经过一个可逆的线性变换X=CY，得f=Y^{T}BY也正定

如何判断A是否为正定矩阵？

正定矩阵首先是二次型，二次型是对称矩阵，所以首先判断A是否对称阵。

1、根据定义判断

2、根据特征值判断，因为用正交变换得到的标准型，y^{2}前的系数就是特征值，如果特征值全部大于0，那么肯定f大于0

3、顺序主子式法，A的左上角各阶顺序主子式全大于0

例如A=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} & a_{13}\\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}，那么就是依次求\begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix}的行列式，\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}的行列式，\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} & a_{13}\\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}的行列式是否全部大于0

4、如果A与E合同，则A正定

这个很好判断啊，由2+定理，可得只要A的规范型里，系数都为1，那么A就是正定

5、A的正惯性指数为n，则A正定

正定的必要条件

若f=X^{T}AX为正定，可以推出

1）A的主对角线a_{ii}全部大于0

2）A的行列式大于0

这个由2就可以判断出了


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