实变函数/实分析总结

一、概述。

实变函数，又叫实分析，整本书满满的证明就讲了一个勒贝格积分。

最为大家所熟知的是用牛顿-莱布尼茨公式算的黎曼积分。但是黎曼积分本身依赖于函数的连续性，像不连续的狄利克雷函数就无法积分了。

为了解决这一问题，勒贝格利用分割值域的方法，使得函数可积。

但是分割出来的值域，只能放在一起，形式集合。

如果我们要求出狄利克雷函数的面积，就需要知道它的边长，也就是长度。

集合本身没有“长度”这一概念，所以需要用测度来得到集合的“长度”。（测度=集合的“长度”）

于是，狄利克雷函数在区间[0,1]的积分=1*m(Q)+0*m(I)。

区间[0,1]的有理数的测度m(Q)=0，区间[0,1]的无理数的测度m(I)=1；所以1*m(Q)+0*m(I)=0。

勒贝格本人举的例子：

假设要数一堆硬币，黎曼积分就是一个一个地数，而勒贝格积分就是先根据硬币的面值分好类，再一小堆一小堆地数。

黎曼积分的局限性：

1、狄利克雷函数不是黎曼可积。

2、积分和极限不能随意交换。

3、反常积分复杂。

4、在实数中积分。

勒贝格积分要研究什么？

1、分割出来的小块->研究集合。

2、小块是实数中的集合->研究欧氏空间的点集。

3、小块的面积->研究测度、可测性。

4、什么样的函数f才能算面积->研究可测函数。

5、新的方法算面积->勒贝格积分。

6、微积分基本定理->不定积分与微分。

二、集合。

1、有限覆盖定理。

有一开区间族B（B1到Bk的并)覆盖了闭区间A，那么可以在B中选出有限个开区间（虚线小圆）来覆盖A。

2、区间套定理。

若干个闭区间相交，而且一个比一个小，最后交集为一点（同心圆的圆心）。

3、对等和基数。

集合1和集合2中的元素一一对应，称为对等。对等的集合基数相同，基数可以衡量集合的个数，但是基数不是一个准确的数，而是一个代号。基数又称“势”。

无限集可以与它的真子集对等(有限集没有这个性质)。对等用~来表示。

如：{正整数全体}~{正偶数全体}，令x=正整数，那么正偶数φ(x)=2x。

对等关系具有以下性质：自反性、对称性、传递性。

如果A≠B，但是A~B的真子集，那么B的基数比A大。

伯恩斯坦定理(用于建立对等)，如下：

(0,1) → （0,1）⊆ (0,1] ，(0,1)属于(0,1]的子区间，该子区间与前面的(0,1)对等(即x映射到x)。

(0,1] → （0,1/2]⊆ (0,1) ，(0,1/2]属于(0,1)的子区间，该子区间与前面的(0,1]对等(即x映射到x/2)。

所以(0,1) ~ (0,1]。

4、可数集合。

全体有理数、正整数是可数集合（所有元素都可以一一列出来）。

一一列出的意思是：如正整数，可以用1，2，3，……，正无穷来列出。

代数数全体为可数集。

有限集和可数集统称为至多可数集。

至多可数个至多可数集的并仍为至多可数集。有限个至多可数集的直积为至多可数集。

可数集是无限集中基数最小的集合。

5、不可数集合。

全体实数R、无理数是不可数集合（不能一一列出所有元素）。

全体实数R的基数为连续基数c，任何一个区间都与R对等，所以任何一个区间都有连续基数。

三、点集。

1、度量空间。

正定性：d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y。

对称性：d(x,y)=d(y,x)。

三角不等式：d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。

一个集合配备了距离的概念时，称为度量空间。

距离的定义可以有多种，而欧氏距离只有一种。

2、内点、外点、界点、聚点、孤立点。

点集有两种分法：一种是内点、外点、界点，另一种是聚点、孤立点、外点。

红点在圆内，为内点；黄点在圆边界，为界点；蓝点在圆外(不属于E)，为外点。

红点和黄点是聚点。

有一集合E=[a,b]并{c}。c点存在去心邻域（黄色区域），均不属于E，则c是孤立点。

有限集没有聚点。

E的界点或聚点可以属于E，也可以不属于E。

E的内点必是E的聚点，但E的聚点可能是E的内点，也可能是E的界点。

3、开核、边界、导集、闭包。

全体内点组成的集合，称为开核。

全体聚点组成的集合，称为导集E'。

全体界点组成的集合，称为边界。

红色部分和蓝色部分为开核，它不包括边界。

边界，就是圆周，但是圆周可以属于圆（红圆实线黑色边界），也可以不属于圆（蓝圆虚线边界）。

导集=开核+边界。

闭包=集合本身+导集。

4、开集、闭集、完备集。

集合E的每个点都是E的内点，称为开集。如：开区间(a,b)是开集。

集合E的每个点都是E的聚点，称为闭集。如：闭区间[a,b]是闭集，有限集是闭集。

有界闭集是紧集，反之亦然。

E没有孤立点，则E是自密集。有理数Q是自密集。

E=E'，则E是完备集。完备集是自密闭集，即没有孤立点的闭集。闭区间[a,b]、R是完备集。

红色部分（包括实线黑色边界）为闭集，它的每一个聚点都属于集合本身。蓝色部分（不包括虚线黑色边界）为开集，它的每一个内点都属于集合本身。

红色部分（包括实线黑色边界）为自密集，它的每一个聚点都属于集合本身。同时，它也是闭集，自密闭集就是完备集。

5、康托尔三分集P的性质。

P是完备集。

P没有内点。因为P的闭包没有内点，所以P是疏朗集。

P的测度为0，P在区间[0,1]的补集的测度为1。

P的基数为c。

康托尔三分集“长度”为0，而基数又是c，也就是里面的点的数量和全体实数一样多。这是一个非常特殊的集合。

康托尔三分集的Matlab代码如下：

function [] = main() 
clear;close all;clc;
cantorSet(0,10,10,10);function f = cantorSet(ax,ay,bx,by) %康托尔三分集
c=0.001; %横线的最小宽度
d=0.005; %上、下两条横线的间距if((bx-ax) > c)x = [ax,bx];y = [ay,by];hold on;plot(x,y,'LineWidth',2); % 画线一条线hold off;cx = ax + (bx-ax)/3; %第一条横线从最左点ax，增加1/3长度cy=ay-d; % 横线向下递减ddx = bx-(bx-ax)/3; % 第二条横线从最右边bx，减少1/3长度dy=by-d; % 横线向下递减day=ay-d; % 横线向下递减dby=by-d; % 横线向下递减dcantorSet(ax,ay,cx,cy); % 递归画左边横线cantorSet(dx,dy,bx,by); % 递归画右边横线
end

结果如下：