实变函数自制笔记9：勒贝格积分的极限定理

1、非负可测函数积分的极限：

背景：在数学分析里，函数列极限函数黎曼可积性有这样的表述： $f_n\left ( x \right )\rightrightarrows f\left ( x \right ),x\in \left [ a,b \right ]$ ，且每个 $f_n\left ( x \right )$ 均在 $\left [ a,b \right ]$ 上可积 $\Rightarrow$ 函数列 $f_n\left ( x \right )$ 的极限函数 $f\left ( x \right )$ 也在 $\left [ a,b \right ]$ 上可积；从而有这样的公式： $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{a}^{b}f_n\left ( x \right )dx=\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx$ ；那我们会想，勒贝格积分与极限能否交换顺序？事实上这只能在很弱的条件下进行；
列维（Levi，亦称莱维）定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数渐升序列 $\left ( f_i\left ( x \right )\leqslant f_{i+1}\left ( x \right ) \right )$ ，且 $f_n\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f\left ( x \right )$ （即 $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ），则有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx=\int_{E}\lim_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx$ ；
逐项积分定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，则有： $\int_{E}\sum_{n=1}^{\infty }f_n\left ( x \right )dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ ；其定理还有一个推论：已知 $E_i\left ( i=1,2,\cdots \right )$ 为 $E$ 的互不相交可测子集列，且 $E=\bigcup_{i=1}^{\infty }E_i$ ，则： $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上有积分 $\Rightarrow$ $f\left ( x \right )$ 在每个 $E_i$ 上均有积分，且有 $\int_{E}f\left ( x \right )dx=\sum_{i=1}^{\infty }\int_{E_i}f\left ( x \right )dx$ ；
法图（Fatou）引理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，则有： $\int_{E}\varliminf_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx\leqslant \varliminf_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ ；这个引理可通过设中间非负可测函数列由列维定理证明得到，其中不等号可能成立的特例为： $h_n\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} m, &x\in \left ( 0,\frac{1}{m} \right ) \\ 0, & x\in \left [ \frac{1}{m},1 \right ] \end{matrix}\right.$ ；
法图引理的一些思考：通过法图引理，我们可以说明即使是一个处处收敛的可测函数序列，极限和勒贝格积分也未必能交换顺序；当然如果在有限测度集上的可测函数序列一致收敛到某个函数，那就肯定能交换顺序，但一致收敛性要求太高，实际很难做到；不过，我们可以从一致收敛性的定义来着手降低些要求；

2、勒贝格控制收敛定理：

积分的绝对连续性：已知 $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上勒贝格可积（可简写为 $f\in L\left ( \left [ a,b \right ] \right )$ ），则： $\forall \varepsilon >0$ ， $\exists \delta >0$ ，使得 $A\subset E$ 且 $m\left ( A \right )< \delta$ 时，有 $\left | \int_{A}f\left ( x \right )dx \right |< \varepsilon$ ；
勒贝格控制收敛定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，其控制函数为 $F\left ( x \right )$ （即满足 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant F\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ），且 $F\left ( x \right )$ 在 $E$ 上勒贝格可积（可简写为 $f\in L\left ( E \right )$ ）；则： $f_n\Rightarrow f$ （即 $f_n\left ( x \right )$ 依测度收敛于 $f\left ( x \right )$ ） $\Rightarrow$ $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的，且有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；

控制收敛定理的描述还有另外一种说法：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 在可测集 $E$ 上勒贝格可积（即 $f_n\left ( x \right )\in L\left ( E \right )$ ），且满足这两个条件： $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ； $\exists$ 一个勒贝格可积的 $g\left ( x \right )$ 在可测集 $E$ 上，使得 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的，且有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；
上述说法里的条件可稍稍加强，比如能保证 $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ 和 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant g\left ( x \right )$ 条件当然更好；条件更弱一些就是定理后面写着的 $f_n\Rightarrow f$ （依测度收敛）了；
勒贝格控制收敛定理有个特例，便是勒贝格有界收敛定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为有限测度 $\left ( m\left ( E \right )< +\infty \right )$ 可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，且 $\forall x\in E$ ， $\exists M$ 为常数，有 $f_n\Rightarrow f$ （即 $f_n\left ( x \right )$ 依测度收敛于 $f\left ( x \right )$ ）和 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant M,\textup{a.e. }x\in E$ ；则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的，且有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；同样的，这个定理也可以像2里说的那样将条件稍稍加强，比如 $f_n\Rightarrow f$ 依测度收敛换成几乎处处收敛甚至逐点收敛（也就是收敛）， $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant M,\textup{a.e. }x\in E$ 换成对于每个 $f_n\left ( x \right )$ ， $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant M$ 均成立等等；
勒贝格控制收敛定理常用来解决已知函数列 $f_n\left ( x \right )$ 的情况下求 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ 的值，解决方法通常是：首先我们需要确定 $f_n\left ( x \right )$ 为有界可测函数列，有界性可以和之后找控制函数一起弄，而验证其为可测函数列只需要知道“可测集上的连续函数一定可测”即可验证；然后找出 $f_n\left ( x \right )$ 的控制函数 $F\left ( x \right )$ ，通常我们需要对含 $x$ 的取值进行分类，比如求 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{\left ( nx \right )^s}{1+\left ( nx \right )^{s+1}}dx\left ( 0\leqslant s\leqslant 1 \right )$ 时，我们自然会想到对 $nx$ 的取值进行分类（ $nx\geqslant 1$ 和 $nx< 1$ 的情况）求其控制函数，一般得到的控制函数为按照分类整合的分段函数；由于得到的控制函数 $F\left ( x \right )$ 可以判断是黎曼可积的（连续必可积），黎曼可积必勒贝格可积（由此得到了勒贝格控制收敛定理的第一个大条件），然后通过求出 $\lim_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx$ 的值并设为 $f\left ( x \right )$ 得到了 $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ （由此得到了勒贝格控制收敛定理的第二个大条件）；结合这两个大条件，由勒贝格控制收敛定理可得式子 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ 成立，由这个式子可以帮助我们解决要求 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ 的值；
勒贝格控制收敛定理有这样一个应用定理：已知 $f\left ( x \right )$ 为 $\left [ a,b \right ]$ 上的有界函数，则有： $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上黎曼可积 $\Leftrightarrow$ $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上的不连续点集是零测集；