[转]勒贝格积分的框架与通俗理解

为什么会出现勒贝格积分

这个问题等价于勒贝格积分和黎曼积分有什么区别。其实这个区别没有那么玄，反而很好解释。问题的根源在于黎曼积分的定义上。
黎曼积分：

$\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_{i})(x_{i+1}-x_{i})$ .

黎曼积分是在 $x$ 轴上做的分割，虽然可以分割得很细，但只要被积函数在这个分割区间上的上界 $sub$ 和下界 $inf$ 的差不能被控制到很小时就有可能使得分割和不唯一。换言之，此时这种奇葩的函数在黎曼积分意义下不可积。这反过来也暗示了黎曼可积时被积函数不能变化太突兀。在这样的定义下，狄利克雷函数作为极品的代表冲垮了黎曼积分的防御范围。

所以，为了使更多奇葩的函数可积，需要新的角度去定义积分。既然值域不安定，那就在值域上分割吧。当值域分割得足够小时，每一段值域所对应的定义域就不是区间，而是可测集。定义如下

勒贝格积分：
$S(f)=\sum_{i=0}^{n-1}\xi_{i}|E_{i}|$

所以，为了准确地刻画勒贝格积分，就要首先定义好可数，不可数，可测集，不可测集这些概念。
更重要的是，勒贝格积分此时也拓展了我们对勒贝格可积函数的理解：它可以很灵活。为什么这么说呢？假设积分区间是[0,1]，我们以前考虑黎曼可积函数时就只能从0开始到1，对应的值域也就只能从左边呈现到右边。但现在在勒贝格可积下，我可以把[0,1]按对应值域的近似可以打散成很多个可测子集，这些子集允许毫无顺序，其对应的值域自然也会毫无顺序。所以，在勒贝格可积意义下，根本就不必理会函数的整体性，根本不必理会这个函数是否连续(【 $Riemann$ 积分自然也不要求函数连续，我意在指出勒贝格积分从诞生的这一刻开始就已经不用考虑连续，但从黎曼积分的定义看，它受连续性质影响， $Riemann$ 积分在连续前提下堪称完美】)。显然我们至此对函数的认识已经跃升到一个新的层次，进入到可测函数这块领域。你看，勒贝格积分远不止对函数的可积提供了一种新思路，更重要的是完全拓展了支撑其这个理论的新体系。这，就是勒贝格积分的深刻之处。

3.不能不谈的可测函数

对，我们前面从勒贝格积分引出可测函数，而课本是先介绍好各种支撑体系的准备最后才进入到勒贝格积分的。这看起来似乎跟教材的安排相反，不，这恰恰很自然。我们需要研究可测函数才方便后面探讨勒贝格积分的性质。这里整篇文章都是执果索因，我们从勒贝格积分出发，一步一步挖掘新的支撑理论。当然这是后话了。

我们高中就已经知道函数的三要素是定义域，值域和对应法则。从前面的叙述我们可能已经隐约感觉到，研究可测函数，关键是函数的定义域，即可测集。所以我们谈可测函数前，首先得来认识什么是可测集。

简单来说，具有测度可加性的集合叫可测集。不具有可加性的集合自然就叫不可测集。

到这里可以打住了，可以直接跳到可测函数那里，如有兴趣不妨看完*号里面的内容。

********************补充“什么叫可加性”*********************

集合的外测度：设 $E$ 是 $R^n$ 的点集， $\{I_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $R^{n}$ 中的一列开长方体， $\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}\supset E$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}|I_{n}|$ 确定一个非负的数 $u$ .记
$m^{*}E=inf\{u|u=\sum_{n=1}^{\infty}|I_{n}|,\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}\supset E$ ， $I_{n}$ 是开长方体 $\}$
称 $m^{*}E$ 为 $E$ 的勒贝格外测度。

集合的可加性体现在外测度上：
如果 $A\cap B= \varnothing$ ，有 $m^{*}A\cupB=m^{*}A+m^{*}B$ ，则说外测度对集合 $A$ 和 $B$ 有可加性。

看到这里可能有朋友吐槽了：擦，这不是很显然吗?!不，确实是有些集合的外测度不具可加性的，相关例子在《实变函数》或《实分析》都可以找到。
为什么要引入测度，可见：
http://www.doc88.com/p-052298310128.html
******************************************************
OK，回到可测函数上来。
定义：假设 $E\subset R^{n}$ , $f(x)$ 是 $E$ 上的函数，如果对任意常数 $a$ ，集合

$E\{f(x)>a\}\triangleq\{x|x\in E,f(x)>a\}$

都是可测集，则称 $f$ 是 $E$ 上的可测函数。

考虑到我们接触到的集合都不算什么极品，这个定义意味着：几乎我们接触到的函数都是可测函数。

4.可测函数的分析性质

这个分析性质主要是逼近方面的。我们以前学习过数学分析，知道函数列也有极限，连续，收敛和一致收敛的相关定理。没错，勒贝格积分论就借鉴了这种思路，同样探讨可测函数列的极限，连续，收敛和一致收敛。

4.1 几乎处处收敛的逆袭(类似屌丝の逆袭  )

对于函数列来说，一致收敛>收敛>几乎处处收敛>依测度收敛(有限测度集下)。但只要可测函数列去掉一个测度几乎为0的可测集后，倒是可以从几乎处处收敛变成一致收敛的。很惊讶吧

$Egoroff$ 定理(两个命题等价)

$\lim_{n \to \infty}f_{n}(x)=f(x) a.e.[E]$ $\Longleftrightarrow$
$\forall \delta>0$ ，存在可测子集 $E_{\delta}\subset E$ ，s.t. $m(E-E_{\delta})<\delta$ ，而在 $E_{\delta}$ 上， $f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)$ .

---------------------勒贝格定理(几乎处处收敛>依测度收敛)--------------
$f(x)$ ， $f_{1}(x)$ ， $f_{2}(x)$ ， $\dots$ 是 $E$ 几乎处处可测，若 $f_{n}(x)\rightarrow f(x) a.e.[E]$

4.2 $Riesz$ 定理(依测度收敛到几乎处处收敛の逆袭  )

但这个逆袭是局部的
设 $f_{n}(n=1,2,...)$ ， $f$ 是 $E$ 上的可测函数，如果 $f_{n}\Rightarrow f$ ，则 $\exsit$ 子序列 $\{f_{n_{i}}\}$ ,使得 ${f_{n_{i}}(x)\rightarrow f(x) a.e.[E]$ .

4.3 几乎处处有限到连续

当然这个连续是勒贝格积分体系下的连续，不过其实其概念本质跟古典分析一样，只是用集合来阐述。不过仔细想想，古典分析其实也是用集合(区间)的。

这仅仅是表明的，事实上勒贝格积分定义下的连续跟古典分析中的定义有区别，他是否连续会很依赖于给出来的集合。换句话说，不同集合下，函数的连续性可能不一样。

$Lusin$ 定理
具体我就不给出明确的数学描述了，大意是：可测函数 $f(x)$ 在有限测度集 $E$ 几乎处处有限，存在一个测度几乎等于 $mE$ 的闭集， $f(x)$ 在这个闭集上连续。

从前面看来，可测函数(列)似乎在定义域上稍稍处理就可以有很好的性质。但到这里我开始有疑问：在勒贝格积分下并不能去掉的那非0可测集，如果不能去掉这些性质在勒贝格积分下还有什么意义呢？
哈，现在这里卖个关子，后面会继续解释。  (其实这是我后来补上的，当时确实很困惑)

5.勒贝格积分的交换问题

5.1 极限 $\lim$ 与积分号 $\int$ 的交换

回忆一下我们在数学分析中积分和极限的交换要求是什么？
$\lim_{n \to \infty}\int_{E} f_{n}(x)=\int_{E}f(x)dx$ 即极限符号什么情况下可以放到积分号里面？
对，一致收敛。但一致收敛要求太高，很多情况下实际上很难做到，我们希望大部分函数都可以不用考虑一致收敛而直接放到积分号里面算极限。
既然可测函数那么灵活，是否可以放宽这个交换条件呢？答案是肯定的。

$Levi$ 定理
1) $f_n(x)$ 是 $E$ 上的非负可测递增函数序列，即 $0\leq f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$
2) $\lim_{n \to \infty}f_{n}(x)=f(x) a.e.[E]$
则
$\lim_{n \to \infty}\int_{E} f_{n}(x)=\int_{E}f(x)dx$

5.2 逐项连和 $\sum$ 与积分号 $\int$ 的交换
即 $\int_{E}\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E}f_{n}(x)dx$ 何时在勒贝格积分下成立？

其实这由 $Levi$ 定理可以推出，即 $Lebesgue$ 基本定理，当然函数列依然要是非负可测函数列。这个推论并不困难
令 $S_{k}(x)=\sum_{n=1}^{k}f_{n}(x)$ ，这样 $S_{k}$ 满足 $Levi$ 定理中的条件，有
$\int_{E}\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)dx=\lim_{k \to \infty}\int_{E}S_{k}(x)dx=\lim_{k \to \infty}\sum_{n=1}^k\int_{E}f_{n}(x)dx...$

嗯，这看起来什么问题都解决了。不，其实下面是吐槽时间。你看看 $Levi$ 定理使用条件，先要是非负，还得是递增序列，最后还得是几乎处处收敛。。。擦，这不是坑爹吗？有木有！有木有！！大佬，我就是想交换一下极限和积分符号而已，用得着这么折磨人吗？

6.控制收敛定理最后的逆转

前面在第四节我就提出了一个尖锐的问题：如果可测函数列的性质不能用在勒贝格积分中，那研究它还有神马意思？但要用到它，必须正面回答一个问题，在那个测度差不多为0的可测集上的积分是否可控在一个很小的范围内？

积分的绝对连续性完美地回答了这个问题。

若 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，则对 $\forall \varepsilon>0$ ， $\exists \delta>0$ ，使得 $A\subset E$ ，且 $mA<\delta$ 时， $|\int_{A}f(x)dx|<\varepsilon$ .

说实话，我觉得这是实变里面非常重要的定理，虽然它没有什么响亮的名字。OK，既然那个很小的可测集没有影响，那就好办了。

update：后来我在曹广福的博客里看到了类似的分析，没想到我们都对这一点感到非常惊叹！ http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-234079.html

$Lebesgue$ 控制收敛定理指出：

若 $\{f_{m}\}$ 是 $E$ 上的可测函数列， $f_{m}(x)\leq F(x) a.e.[E]$ ，如果 $f_{m}\Rightarrow f$ ，则 $f$ 在 $E$ 上可积，且
$\lim_{m \to \infty}\int_{E}f_{m}(x)dx=\int_{E}\lim_{m \to \infty}f_{m}(x)dx=\int_{E}f(x)dx.$

看，这个定理比 $Levi$ 定理好很多了。当然定理中如果能找到一个常数(这自然是勒贝格可积的)的话就更好看了，事实上这就是有界收敛定理。
很多人在刚接触这两个定理的时候容易混淆，但其实很好理解。控制收敛定理里面有个控制函数，而用一个有界数去代替的话就是有界收敛定理了。这很通俗易懂啦~~哈哈

啰嗦一下，控制收敛定理中并没有说 $E$ 一定为“有限可测集”，但如果是“无限可测集”的话，此时上几乎处处收敛的函数列不一定是依测度收敛的。但没关系，定理依然成立。

写了这么多，我们已经有足够的依据来说明为什么勒贝格积分要从黎曼积分中独立出来了。因为勒贝格积分有更一般性完整的理论体系，而这个理论并不依赖黎曼积分。既然黎曼积分解决不了那就进入另一个能解决的完整体系中处理啊，所以把勒贝格积分独立出来是很自然的事。