前言

梯度和辛普森是经典的几何求积分方法，简单易懂，那如果要更加高档（复杂难懂）的求积分方法找哪家了？高斯-勒让德积分当仁不让。举例来说，下面这个公式看着很高档，但真的要用C来实现还真的有些令人头痛。
$\begin{aligned} A=\frac{1}{2}\int_{v}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t} {\rm d}t \end{aligned}$

高斯-勒让德积分

关于勒让德复杂的表征方法暂时不想多做分析学习，暂且记住勒让德多项式 $P_l(x)，l\in(0,1,...)$ 为本征函数族，正交和完备性可以令其作为广义傅里叶级数的基，即假设函数 $f (x)$ 定义在区间 $(- 1, 1)$ 上，则： $f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}f_lP_l(x)$ 系数 $f_l$ 为 $f_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)P_l(x)dx$
而勒让德多项式的微分表征： $P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$
看着有点晕，如果展开不同阶数 $n$ 的多项式，可能会直观一些【5】
在这里插入图片描述
另外【5】还将5阶的多项式画在同一个图上，虽然看不懂，但也挺震撼。

在这里插入图片描述
高斯积分（Gaussion Quadrature）公式如下：
$\int_{-1}^{1}f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_if(x_i)$
即选择一定的插值点和插值权重去逼近积分值。高斯勒让德给出的权重值为【7】
$w_i=\frac{2}{(1-x^2)[P_n^\prime(x_i)]^2}$
而对应的插值点和低阶权重值已经被算好，可以直接拿来用。

在这里插入图片描述

一般积分区间的归一化

翻译一下wiki的公式：
$\int_a^bf(x)dx = \int_{-1}^{1}f(\frac{b-a}{2}\xi+\frac{a+b}{2})\frac{dx}{d\xi}d\xi\\ \approx\frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^nw_if(\frac{b-a}{2}\xi+\frac{a+b}{2}),\ \frac{dx}{d\xi}=\frac{b-a}{2}$

Exponential Integral

文章开头的指数积分，也有比较成熟的计算方法： $E_1(z)=\int_z^\infty\frac{e^{-t}}{t}dt=-\gamma-ln\ z-\sum_{k=1}^\infty\frac{(-z)^k}{kk!}$
更通用的表达，定义 $Ein(z)=\int_0^z(1-e^{-t})\frac{dt}{t}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}z^k}{kk!}$
那么 $E_1(z)=-\gamma-ln\ z+Ein(z)$
第一个参数叫做欧拉常数，从wiki上抄写推导： $\gamma=\lim_{n \to \infty}(-log\ n +\sum_{k=1}^n\frac{1}{k})\approx0.577215664901532860606512$

实验

最后用【10】里提供的算法，计算 $E_1(z)$ 的几个积分值：

x=0.05    Ei(x)=-2.4678985
x=0.25    Ei(x)=-1.0442826
x=0.45    Ei(x)=-0.6253313
x=0.65    Ei(x)=-0.4115170
x=0.85    Ei(x)=-0.2840193
x=1.05    Ei(x)=-0.2018728
x=1.25    Ei(x)=-0.1464134
x=1.45    Ei(x)=-0.1077774
x=1.65    Ei(x)=-0.0802476
x=1.85    Ei(x)=-0.0602950

利用python的scipy.specials 库exp1计算的 $E_1(z)$ 对应值：

>>> exp1(0.05)   2.467898488509974
>>> exp1(0.25)   1.0442826344437384
>>> exp1(0.45)   0.6253313163232692
>>> exp1(0.65)   0.41151697594947967
>>> exp1(0.85)   0.28401926850246173
>>> exp1(1.05)   0.2018728132201966
>>> exp1(1.25)   0.14641337252591016
>>> exp1(1.45)   0.10777743986897659
>>> exp1(1.65)   0.08024762667334323
>>> exp1(1.85)   0.06029496682837346

参考

1.勒让德多项式及性质
2.高斯-勒让德数值积分公式
3.高斯-勒让德求积公式及Matlab实现
4.高斯积分
5.Legendre polynomials from wikipedia
6.6.2(i) Exponential and Logarithmic Integrals
7.Legendre-Gauss Quadrature
8.Exponential Integral from mathworld
9.Exponential integral from wikepedia
10.常用算法程序集(C语言描述)第三版