勒贝格测度？

今天读论文，读到了勒贝格测度（Lebesgue measure），不明所以故百度，稍做笔记以记之。

定义

数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

例子

1.如果A是一个区间[a,b] , 那么其勒贝格测度是区间长度b-a。开区间(a,b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。
2. 如果A是区间[a,b]和[c,d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b-a)(d-c)。
3.康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。

笛卡儿积

笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称直积，表示为X×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。
假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
总而言之，笛卡儿积就是两个集合所有可能有序数对组成的集合。

康托尔集

论文

4. Instabilities are not necessarily rare events. A key question
   regarding instabilities with respect to tiny perturbations is
   whether they may occur in practice. The example in Fig. 2
   suggests that there is a ball around a worst-case perturba-
   tion in which the severe artifacts are always witnessed. This
   suggests that the set of “bad” perturbations have Lebesgue
   measure greater than zero, and, thus, there will typically be a
   nonzero probability of a “bad” perturbation. Estimating this
   probability may be highly nontrivial, as the perturbation will
   typically be the sum of two random variables, where one vari-
   able comes from generic noise and one highly nongeneric
   variable is due to patient movements, anatomic differences,
   apparatus malfunctions, etc. These predictions can also be
   theoretically verified, as discussed in SI Appendix, Methods.

并没有看懂文中是怎么得出勒贝格测度大于0这个结论的。