雅克比迭代算法

article/2025/4/22 3:13:02

From https://blog.csdn.net/weixin_33895016/article/details/86031039

雅克比迭代，一般用来对线性方程组，进行求解。形如：
a11∗x1+a12∗x2+a13∗x3=b1a11∗x1+a12∗x2+a13∗x3=b1　　
a21∗x1+a22∗x2+a23∗x3=b2a21∗x1+a22∗x2+a23∗x3=b2　　
a31∗x1+a32∗x2+a33∗x3=b3a31∗x1+a32∗x2+a33∗x3=b3　　
我们需要求解出x1x1　，x２x２　，x３x３，我们对这组方程进行变换：
x1=１a１1(b１−a１2∗x２−a１3∗x3)x1=１a１1(b１−a１2∗x２−a１3∗x3)
　 x２=１a21(b2−a2１∗x１−a23∗x3)x２=１a21(b2−a2１∗x１−a23∗x3)
x３=１a３1(b３−a３１∗x１−a３２∗x２)x３=１a３1(b３−a３１∗x１−a３２∗x２)

我们不妨假设 x00=(X01,X02,X03)x00=(X10,X20,X30) ,当我们代入上述公式的时候，我们就会得到一组新的 x10=(X11,X12,X13)x01=(X11,X21,X31) ,此刻我们称之为一次迭代.
然后我们将得到的X1,X2,X3再次代入公式，我们将会得到第二次迭代, 当我们重复这种迭代的时候，我们会得到第K次迭代：
xk=(Xk1,Xk2,Xk3)xk=(X1k,X2k,X3k) , k=1,2,3...nk=1,2,3...n
我们将其归纳成一般式子:

eg: 对于方程组：

求解：
我们先将其变形：

然后，我们假设：
并将其代入得到：

我们将得到的X1,x2,x3再次代入方程中，反复迭代,将会得到如下：

最终我们将会得到一个收敛值，该组值，就是我们得到的解（会非常的逼近真实解）

那么这种方法，也可以用来求解矩阵:
对于方程： Ax =b ; 我们设定 A矩阵为： ,b矩阵为：， x矩阵为：
到这里，每个人都有自己的解法，直接的解法是将 x = A−1A−1b,但是A的逆矩阵A−1A−1,计算较为复杂，我们这里需要一点小的tricks ,我们将A矩阵拆分成为一个对角矩阵D,下三角矩阵L,上三角矩阵U,即

这样的话，公式 Ax = b 就变成了 ( D - L -U )x = b ,然后我们就可以得到：
Dx = b + (L+U)x ，当我们得到这个公式的时候，求解D的逆矩阵就容易了很多，我们得到D的逆矩阵为：