什么是贝塞尔曲线？
Bézier curve(贝塞尔曲线) 是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线所依据的最原始的数学公式是 伯恩斯坦多项式。 简单来说，伯恩斯坦多项式可以用来证明，在[ a, b ] 区间上所有的连续函数都可以用多项式来逼近，并且收敛性很强，也就是一致收敛。 就是一个连续函数，你可以将它写成若干个伯恩斯坦多项式相加的形式，并且，随着 n→∞，这个多项式将一致收敛到原函数，这个就是伯恩斯坦斯的逼近性质。
到了1959年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 开始对伯恩斯坦多项式进行了图形化的尝试，并且提供了一种数值稳定的德卡斯特里奥（de Casteljau） 算法。根据这个算法，就可以只通过很少的控制点，去生成复杂的平滑曲线，也就是贝塞尔曲线。
而贝塞尔曲线的得名，得归功于1962年就职于雷诺的法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier），他使用这种方法来辅助汽车的车体工业设计，并且广泛宣传，因此大家才都称他为贝塞尔曲线 。
Bezier曲线是应用于二维图形的曲线。曲线由顶点和控制点组成，通过改变控制点坐标可以改变曲线的形状。
Bezier曲线拟合原理
1.在平面内选3个不同线的点A、B、C并且依次用线段连接。如下所示：
2.AB和BC上分别确定点D和点E，使得AD/AB = BE/BC成立：
3.连接DE，并在DE上找出一点F，使得DF/DE = AD/AB = BE/BC：
4.让选取的点D在第一条线段上从起点A，移动到终点B，找出所有点F，并将它们连起来。会得到一条非常光滑的曲线，即贝塞尔曲线。
动画演示
一次Bezier曲线公式：
二次Bezier曲线公式：
三次Bezier曲线公式：
四次贝塞尔曲线动态演示：
五次贝塞尔曲线动态演示：
贝塞尔曲线的特点及用途
对于贝塞尔曲线，最重要的点是数据点和控制点。
数据点： 指一条路径的起始点和终止点。
控制点：控制点决定了一条路径的弯曲轨迹
根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一阶贝塞尔曲线（0个控制点）、二阶贝塞尔曲线（1个控制点）、三阶贝塞尔曲线（2个控制点）等等。
特点一：曲线通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于始点和终点，中间点将曲线拉向自己。
特点二：平面离散点控制曲线的形状，改变一个离散点的坐标，曲线的形状将随之改变（点对曲线具有整体控制性）。
特点三：曲线落在特征多边形的凸包之内，它比特征多边形更趋于光滑。
由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。
贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。注意，贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。这种“智能化”的矢量线条为艺术家提供了一种理想的图形编辑与创造的工具。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import factorialdef comb(n, k):return factorial(n) // (factorial(k) * factorial(n-k))def get_bezier_curve(points):n = len(points) - 1return lambda t: sum(comb(n, i)*t**i * (1-t)**(n-i)*points[i] for i in range(n+1))def evaluate_bezier(points, total):bezier = get_bezier_curve(points)new_points = np.array([bezier(t) for t in np.linspace(0, 1, total)])return new_points[:, 0], new_points[:, 1]if __name__ == '__main__':points = np.array([[0, 2], [0,0.5], [0.5,0], [2, 0]])#points = np.array([[0.1, 2], [0,0], [2, 0.3]])x, y = points[:, 0], points[:, 1]bx, by = evaluate_bezier(points, 400)# plt.plot(bx, by, 'b-.')plt.plot(x, y, 'r.')plt.show()
