0. 前言

1. 子群

【定义10】子群和真子群

Subgroup Test

【定理2】循环群的子群

【定理3】循环子群

2. 陪集和正规子群

【定义11】陪集

【定义12】正规子群

3. 商群(factor group, or quotient group)

【定义13】商群

【定义14】简单群(Simple Group)

0. 前言

业余爱好小白的群论自学笔记。没有目的，为了学习而学习。用自己能够理解的方式沿着自己的思路进行整理记述（东施效颦小平邦彦的抄书学数学），不求严谨完备，但求逻辑连贯。

上一篇（群论基础速成（1））介绍了群的定义、同态和同构、有限群、循环群以及两种群的可视化技术。

对群的深入分析意味着要分析它们具有什么样的组织结构，彼此之间有什么联系，如何通过较小的群来构建较大的群，如何剖析较大的群从而揭露蕴含其中的较小的群。本篇将朝向这个目标讨论子群、陪集、正规子群、商群等概念，顺便介绍群的可视化的第3种技术：轨道和循环图。

1. 子群

【定义10】子群和真子群

对于群（G,*），如果H是G的子集( $H \subseteq G$ )，且（H,*）也构成一个群的话，则称H为G的子群（ $H \leq G$ ）。如果H是G的真子集（proper subset, $H \subset G$ ）的话，则称（H,*）为（G,*）的真子群（proper subgroup），简记为 $H < G$ .

Subgroup Test

证明（H,*）为（G,*）的子群的一种快捷方式（One-step subgroup Test）：检验 $(a,b \in H ) \Rightarrow (a\star b^{-1}\in H)$ 成立。

当然，以上隐含了一个前提条件就是，H必须为非空集合。

让我们来看为什么只要检验以上条件成立就可以确认（H,*）为（G,*）的子群？回忆一下，群的性质包含4条：(1)运算封闭性；(2)满足结合律；(3)存在单位元; (4)存在逆元。

首先，满足结合律是直接继承自（G,*）；

其次，因为 $(a,b \in H ) \Rightarrow (a\star b^{-1}\in H)$ ，所以， $a \star a^{-1} = e \in H$ ，即H中存在单位元。注意，这里并没有假定a的逆元存在于H中；

第三，因为 $(a,b \in H ) \Rightarrow (a\star b^{-1}\in H)$ ，且以上已经证明H中包含单位元e，因此 $\forall b \in H, e b \in H \Rightarrow b^{-1} = e b^{-1}\in H$ ，即存在逆元；

第四， $\forall a,b \in H, \Rightarrow b^{-1} \in H \Rightarrow a \star (b^{-1})^{-1} = a\star b \in H$ ，即满足封闭性。

以上其实就是反复使用 $(a,b \in H ) \Rightarrow (a\star b^{-1}\in H)$ 这个条件完成了证明。这个测试也成为one-step subgroup test.

Ref: group theory - Subgroup criterion. - Mathematics Stack Exchange

例1: $\mathbb{Z}_2 < \mathbb{Z}_4$

例2：显而易见的是，(e,*)和(G,*)都是(G,*)的子群，它们被称为平凡子群(trival subgroup)。(e,*)既时平凡子群又是真子群？

【定理2】循环群的子群

循环群的子群仍为循环群。

当然，反过来不成立。循环群可以是非循环群的子群。一个很平凡的事实是，任何一个有限群都一定有循环子群。

【定理3】循环子群

注意：循环子群不等同于循环群的子群！

对一个有限群中的任意一个元素重复做自我结合运算（即幂运算，a, a*a, a*a*a,...）所得到的结果构成的子集即构成该群的一个循环子群。

Informal proof:

首先，由(G,*)封闭性可知，a, a*a, a*a*a,...仍然在G中，即 $H = \{a, a^2, a^3, \cdots \} \subseteq G$ 。

其次，结合律继承自(G,*)显然成立。

第三，由结合律可以推出封闭性在(H,*)中成立。

第四，单位元存在性。由于 $H \subseteq G$ ，而G为有限集，则H也一定为有限集，记为 $H=\{a^{k_1},a^{k_2},...a^{k_m}\}$ ，令 $k = max(k_1,k_2,...,k_m)+1$ ， $\exists j \in \{k_1,k_2,...,k_m\}, s.t, a^k = a^j \Rightarrow a^{k-j} = e \in H$ ，即在(H,*)中存在单位元

第五，逆元存在性。也就是要证明： $\forall n \in \{k_1,k_2,...,k_m\}, \exists l \in \{k_1,k_2,...,k_m\}, s.t, a^n*a^l=e$ 。用反证法。假设这个不成立，则必有， $\forall n, a^n\neq e, \forall l \in \{k_1,k_2,...,k_m\}, a^{n+l} \neq e \\ \because a^n\neq e, \\ \therefore a^{n+l}\neq a^l, \forall l \in \{k_1,k_2,...,k_m\} \\ \therefore a^{n+l} \notin H$ 矛盾。由此证明了逆元存在性。

由这个性质我们可以引出另一个群论可视化技术：轨道图和循环图。此处暂且不表，参见后面的说明。

2. 陪集和正规子群

子群的陪集与子群是什么关系呢？子群及其陪集之间一个最显著的差别在于前者包含单位元在内，而后者在其它方面具有和子集相似的结构，只不过有可能不包含单位元（并正因为此，陪集并不总是子群）。

【定义11】陪集

设(H,*)为群(G,*)的子群，对于G中任意元素a，定义集合 $a*H = \{a * h_0, a * h_1, a * h_0, ... \}$ 为H的左陪集，同样定义集合 $H*a = \{h_0 * a, h_1 * a, h_2 * a,...\}$ 为H的右陪集。

例：H = {0, 2} 是Z4的一个子群。

它的左陪集(为简便期间，这里用ab表示a*b，用aH表示aH，但是要注意这里的运算是+)有：0H = {0,2}; 1H = {1,3}; 2H = {2,0}; 3H = {3,1};

它的右陪集有：H0 = {0,2}; H1 = {1,3}; H2 = {2,0}; H3 = {3,1};

有几点值得注意：

H的陪集与H很相似，都是G的子集，但是需要注意的是，H的陪集不一定构成子群。这是因为，如上所示，有些陪集没有包含单位元。
H的陪集构成了G的一个无重叠的分割(partition without overlap)。如上例所示，0H = 2H = {0,2}与1H = 3H ={1,3}
H的所有左陪集覆盖了G的所有元素，换句话说，H的所有左陪集的并等于G。这个对于H的右陪集也同样成立。这个是陪集的一般性质。
对于Z4中每一个元素a，其对应的H的左陪集a+H与右陪集H+a都相等。这个性质可不是一般成立的性质。满足这个性质的子群叫做正规子群

【定义12】正规子群

设(H,*)为群(G,*)的子群，对于G中任意元素a，左陪集a*H等于右陪集H*a，则称H为G的正规子群。

如上例所示，H = {0, 2} 是Z4的一个正规子群，显然是源于“+”运算是可交换的（commutative）。

是不是只有可交换群才有正规子群呢？似乎并不是，待确认。
对于某个群，有没有可能有些子群是正规子群，有些不是呢？

3. 商群(factor group, or quotient group)

【定义13】商群

令群 (G, *)有正规子群(H,*)。定义陪集运算 $\diamond$ 如下： $(a*H) \diamond (b*H) = {a*b*h_0, a*b*h_1, a*b*h_2, ...}$ ，其中a,b为G中的元素，h0,h1,...为H中的元素。H的陪集在该陪集运算下构成一个群，称为商群，记为G/H，读作“G Modulo H” 或者“G Slash H”。

继续考虑上面的例子：H = {0, 2} 是Z4的一个子群，其左陪集分别为0H,1H,2H,3H，按照以上定义的陪集运算可以得到其凯莱表如下所示（注意，0H=2H, 1H=3H，因此H的左陪集事实上只有两个元素）：

很显然，这个群同构于Z2，即: $\mathbb{Z}4 / H \cong \mathbb{Z}2$ .

【定义14】简单群(Simple Group)

每个群都包含它自身和Z1两个商群。如果一个群除此两个商群以外没有其它的商群，则称之为简单群。

但是，“简单群”是一个“批着羊皮的狼”的概念。有一个魔群（monster group），其阶数为808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710, 757,005,754,368 billion，但是它却是一个“简单群”。回头来看，也许质群或者素群（Prime Group）是个更合适的名称。因为简单群的性质确实很像自然数中的素数。

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