前言：仅个人小记。本文记录的证明逻辑上不具有流畅性，主要是在一开始不流畅，拉格朗日神乎其技地引入了一个等价关系，进而实现了整个定理的证明，目前我没能给出拉格朗日是如何想到引入该等价关系。

最后给出推论： 元素的阶必然能够整除群的阶。（元素的阶就是相应循环子群的阶。）

前要知识

1. 等价关系 R 中，元素 a 的等价类，即该等价关系中所有第一个元素是 a 的序偶相应的第二个元素 b 形成的集合。

定理内容

设 $<H,\ast >$ 是群 $<G,\ast >$的一个子群，则子群 H 的阶 m 必然能够整除群 G 的阶 n, 即$m|n$。

定理证明

前要证明（1）

证明内容： 引入一个二元关系并证明其为一个等价关系。
引入二元关系

R = { < a , b > ∣ a , b ∈ G 且 a − 1 ∗ b ∈ H } R=\{<a,b>|a,b\in G且a^{-1}*b\in H\} R={<a,b>∣a,b∈G且a−1∗b∈H}注意: a,b 是属于群 G 而不是属于子群 H 的两个元素。

1. 由于子群 H 必然存在幺元，所以$a^{-1}\ast a=e\in H$，所以必然存在序偶<a,a>，即二元关系 R 具有自反性。
2. 由于子群 H 具有封闭性和结合律，所以如果存在 <a,b>,<b,c>，即存在 $a^{-1}\ast b,b^{-1}\ast c\in H$，进而，由于封闭性以及结合律，故而必然$$(a^{-1}\ast b)\ast (b^{-1})\ast c=a^{-1}\ast (b\ast b^{-1})\ast c=a^{-1}\ast c\in H$$故而必然存在序偶 <a,c>，即二元关系具有传递性。
3. 由于子群 H 中元素都可逆，所以如果存在 <a,b>，即存在 $a^{-1}\ast b\in H$，则必然其逆元素也属于子群 H，即${(a^{-1}\ast b)}^{-1}\in H$，即$$b^{-1}\ast a\in H$$即存在序偶 <b,a>, 即二元关系具有对称性。

综上3条，得出二元关系必然是一个等价关系。证毕！

前要证明（2）

证明内容： 等价关系 R 中元素 a 的等价类就是 aH。
由前要知识1知道，a 的等价类就是所有满足 $<a,b>\in R$ 的 b 形成的集合。对于等价关系 R ，满足 $<a,b>\in R$ 的 b 就是满足$a^{-1}\ast b\in H$ 的 b，就是所有满足 $b\in aH$的 b 形成的集合，即集合 $aH$。
注意到：

1. a 具有任意性。
2. 等价类的规模和子群 H 直接挂钩，即同一等价类里元素个数就等于子群 H 的阶。

正式证明

由等价关系 R 对集合 G 的划分形成等价类，记共有 k 个等价类。由前要证明(2)可知，每个不同等价类的规模相同，且每个等价类里的元素个数都等于子群 H 的阶，即$$\forall a\in G,|[a{]}_R|=|H|$$又因为是划分，所以所有等价类的元素的集合就是集合 G，所以$$等价类1里元素个数+等价类2里的元素个数+...+等价类k里的元素个数=G中元素个数$$进而$$km=n$$即 n 能够被 m 整除，而 m 又是子群 H 的阶，而子群 H又具有任意性，故而得子群的阶必然能够整除群的阶。

推论

元素的阶必然能够整除群的阶。

证明方法：元素自乘，形成循环子群，元素的阶就是相应循环子群的阶，而循环子群就是子群，故而满足上述 “子群的阶必然能够整除群的阶”，故而循环子群的阶必然能够整除群的阶，即元素的阶必然能够整除群的阶。证毕！

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