浅谈群论

article/2025/9/13 21:01:35

~~群指qq群，U群，L群，LG群等~~

一下大量内容参考神仙yyc的blog

群论概念和基本性质

一些定义：

代数系统: 由若干元素组成的集合，在上面定义一元/二元…运算，要求运算必须是封闭的.
群: 由若干元素组成的集合,在上面定义二元运算*,满足 封闭性 结合律 存在单位元 存在逆元，则称G在*运算下是个群（运算一般叫乘法）
置换群： 由若干个置换组成的群，定义乘法为先做前一个置换，再做后一个置换。显然成群。这里记作 $G$
元素集： 置换用的元素集合。
等价类： 是一个由元素构成的集合，元素之间可以通过置换互相得到。一般在题目中就是一堆本质相同的方案，题目要求的也是等价类的个数。元素 $k$ 的等价类写作 $E_k$ . $E_k ⊆ Ω$
不动置换类： 所有无法移动元素 $k$ 的置换组成的集合。 $k$ 就是这些置换的不动点。令元素 $k$ 的不动置换类为 $Z_k$ , 显然 $Z_k ⊆ G$ ,也可以证明 $Z_k$ 自己也是个群，即 $Z_k$ 是 $G$ 的一个子群。
不动点： 置换 $p$ 下不动点的个数记作 $c (p)$

一些性质&引理

$当x,y属于同一个等价类时，|Z_x|=|Z_y|$
这个显然吧
轨道-稳定化子定理： $\large |E_k||Z_k|=|G|$
证明直接搬神仙yyc的了，网上大多都是这么证的
在这里插入图片描述

Burnside引理

$\large 等价类个数 \ l=\frac{1}{|G|}\sum c(p_i)$
$人话 : 等价类个数 = 每个值换下不动点个数的和的平均数$

证明:
看神仙yyc的blog吧

Pólya定理

但是一般题目不动点个数并不是那么好求，可以考虑每个置换的轮换环数，每个轮换环的颜色必须相等，所以 $\large 等价类个数 \ l=\frac{1}{|G|}\sum m^{c1(p_i)},c1(p_i)表示p_i置换的轮换环数$
然后就莫得了

丢个例题 luogu P4980 【模板】Pólya 定理

直接套式子，发现置换环的个数是 $n^{n/gcd(n,i)}$ 个，
$\sum\limits_{i=0}^{n} n^{n/gcd(n,i)}=\sum\limits_{i=0}^{n} n^{gcd(n,i)}$

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll qpow(ll x, ll y){ll ret = 1;for(;y; y >>= 1, x = x * x % mod) if(y & 1) ret = ret * x % mod;return ret;
}
ll phi(int x){ll ret = x;for(int i = 2; i * i <= x; i ++) if(x % i == 0){ret = ret / i * (i - 1);while(x % i == 0) x /= i;}if(x > 1) ret = ret / x * (x - 1);return ret;
}
int n, t;
int main(){scanf("%d", &t);while(t --){scanf("%d", &n);ll ans = 0;for(int i = 1; i * i <= n; i ++) if(n % i == 0){if(i * i != n) ans += qpow(n, n / i) * phi(i) % mod;ans += qpow(n, i) * phi(n / i) % mod;ans %= mod;}printf("%lld\n", ans * qpow(n, mod - 2) % mod);	}return 0;
}