群的定义：

感觉很像乘法？，G就像是非零实数集，o就像是*,左单位元就像是1，这里需要用1*n=n的性质找到p在o下的“1”.而左逆元就是相乘等于“1”e的元素。

o也可以是 整数上的加法，这时"e"就是0，a的逆就是相反数。

交换群：

原版群只有结合功能，交换不一定有。

群的叫法：（集合名）（代数运算名）群，如：非零实数乘群。

注意：群既要有集合，又要有运算。有的时候换一个运算就不是群了。就算是群，也是另一个群。

群的阶：

一个经典例子：{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k}，

可以证明这对这种乘法是一个群，是一个八阶有限非交换群，叫4元数群。

定理一：

eoa=a,然后e就成为了左单位元，实际上e同时也是右单位元，证明简单如图：

定理二：

推论一：

半群：

太咸鱼了，只要结合律就行了。

 半群可以没有左单位元，也可以没有右单位元，但只要二者都有，那他就只有一个单位元，左和右是相等的。

一些例子：

如何判断一个半群是群？：

 证明如下：

必要性很简单。充分性就是要证明出他有左单位元和左逆元。二者均有就满足了群的定义，至于右单位元和右逆元就自不必说。

还有另一种证法，针对有限半群：

 解释一下，因为G是有限集，而代数运算要求结果也在集合里面。假如G中有相同的aai,aai2,根据消去律ai1和ai2就相等，不合理，因此每一个aai都是不一样的，一定是满射，b也就在其中有一席之地，这样一来ax=b就有解了。假如G是无限集，那可就不行了。