1. 变换群及其定义

群的本质是集合，集合的元素除了数值以外也可以是集合、数对、变换、函数等等。

当群的元素是变换时，称作变换群 (transformation group)。

变换实际是一个函数，一个一元变量的变换作用于x可以写作

表示变换函数有n个参数，。后文用T及其参数表示一个变换。

变换的乘积就是两个变换先后作用于变量

给定两个变换它们对应函数，那么有：

据此可以证明变换群的封闭性、满足结合律、包含单位元、包含逆元的性质。

2. 举例

例1：复数旋转变换

考虑一个复数旋转变换，即，且有，那么所有a的取值构成的集合为，那么所有a的所有取值构成的变换写作，现在证明这个是一个群。

复数选择变换的乘法为：

封闭性：

        由于，

        所以，

        封闭性得证；

结合律：

        

        结合律得证；

单位元：

        

        所以，单位元为；

逆元：

        

        所以，的逆元为；

因此例中定义复数旋转变换的集合是一个有限变换群，实际上如果，所有的复数旋转变换的构成的集合是一个无限变换群。

例2：线性变换

考虑一个线性变换：

那么所有可能的线性变换构成了一个集合，下面证明线性变换的集合是一个群

参数为a、b的线性变换作用于变量x可以写成如下形式：

那么线性变换的乘法可表示为：

因此可进一步写成：

封闭与结合律易证，其单位元为，

逆元：

所以得，逆元为