1. 群 (Group) 的定义：

群就是定义了二元运算（称为群乘法）且满足下列条件的非空集合：

(1) 封闭性：对，满足.

(2) 结合律：对，满足.

(3) 单位元：存在唯一单位元素使得对由.

(4) 逆元：对存在唯一逆元使得.

可以看到群运算不要求满足交换律，额外满足交换律的群被称为阿贝尔群（Abel Group）或交换群。

根据群中元素的个数分为有限群和无限群。

2.群的讨论

可以看到群是一个集合，而且必须要定义群乘法。

我们可以自己构建一个有限群：

, 

可知G一定满足封闭性、乘法的结合律，且单位元就是，任意元素的逆元表示为。

它同时还满足交换律，所以是一个阿贝尔群。

上述这个有限群的乘法实质上还是加法，所以要注意群乘法并不是必须是数学上的乘法，它只是定义一种二元运算，可以不是乘法，也可以很复杂。

所以，还能定义一个有限模加群，即：

,

其性质与第一个定义的有限复数乘法群完全相同。

当然还有一些重要的无限群，如整数加群、非零实数乘法群等。