定义（群）设G为某种元素组成的一个非空集合，若在G内定义一个称为乘法的运算“·”，满足以下条件：
（1）（封闭性）有
；
（2）（结合性），有a·（b·c）=（a·b）·c；
（3）在G中有一个元素e，对G中任意元素g，有e·g=g·e=g，元素e称为单位元；
(4）对G中任一元素g都存在G中的一个元素g'，使得g·g'=g'·g=e，g称为可逆元，g'称为g的逆元，记作，
则称G关于“·”形成一个群（Group），记作（G，·），通常在不混淆的情况下省略”.”，用G来表示一个群，a·b也简记为ab。
关于群的定义，我们特别需要注意以下几点：
（一）群的概念与所采用的表述方式无关，关键在于运算所满足的抽象性质。例如，定义中的乘法运算“·”也可以称为加法运算“十”，只要依据该运算的定义，条件（1），（2），（3），（4）均成立即可。此时，“a·b”相应可记为“a+b”，（3）中的单位元习惯上称为零元，（4）中“g”记为“一g”，称为负元。
（二）运算“。”和“十”均是抽象运算，并不只是我们熟知的数之间的乘法和加法。非空集合G中的元素形式多样，可以是数、集合、矩阵等研究对象。
经常看到各种群吓唬我，先把常见的各种群的定义罗列如下：
Abel群或交换群：群中的运算满足交换律的群
半群：非空集合G满足条件（1）和（2），则称G为半群
含幺半群：非空集合G满足条件（1），（2）和（３），则称G为含幺半群
举几个栗子：
全体非零实数R*对于通常意义下的乘法形成一个群，因为该乘法满足封闭性和结合性，有单位元1，对任意aR*，有
。通常意义下的乘法又满足交换律，故（R*，.）是一个乘法交换群。同样全体非零有理数集Q*，非零复数集C*对于通常意义下的乘法也构成乘法交换群。由于它们的元素个数并非有限，因而它们均是无限群。
有理数集Q，实数集R和复数集C对通常意义下的加法构成了加法交换群，单
|位元为0，每个元素a的逆元为一么。
整数集Z对通常意义下的加法构成加法交换群，单位元为0，每个元素a的逆元为一a。
非零整数集=Z＼｛０｝对通常意义下的乘法，满足封闭性、结合性、交换律，也有单位元1，但不是每个元素都有逆元，因此
对通常意义下的乘法不构成一个群。
群G中元素的个数称为G的阶，记作｜G｜，若｜G｜＜＋，则称群G为有限群；若｜G｜＞＋
，则称群G为无限群。
定义：设H为群G的一个非空子集，若H对G的运算“·”也构成群，则称H为群G的子群，记作H≤G。
由子群的定义知，H={e}和H=G都是群G的子群，称之为群G的平凡子群。如果H不是群G的平凡子群，即{e}H
G，则称H为群G的真子群。
再举个栗子：
所有偶数的集合是整数加法群Z的子群。一般的，nZ={nk|k∈Z}是Z的子群。
在通常意义的加法运算下，Z≤Q≤R≤C；在通常意义的乘法运算下，Q*≤R*≤C*。
定义：群G由一个元素a生成时，称为循环群（Cyclic Group），记为G=<a>。
举个栗子：
=<2>=<4>,即为4阶循环群，2和4均为其生成元。事实上，由群
中乘法定义知
=2 mod 5=2
=4 mod 5=4
=8 mod 5=3
=16 mod 5=1
即由2可以生成群，同理由4也可以生成群
。
定义：设G为群，，则使
成立的最小正整数n称为元素a的阶，记作ord(a)。如果不存在这样的正整数n，则称元素a为无限阶元。
整数加法群(Z,+)中除了元素0外，其余元素均为无限阶元，因为对任意kZ，不存在正整数n可以使得nk=0。
循环群的特性：
（1）循环群是Abel群
（2）若G=<a>,则|G|=ord(a)。
举个例子：
=<2>={
，
，
，
},|
|=ord(2)=4。
