以前对低通信号的采样定理简单理解为：必须要以信号的最高频率的2倍进行采样，否则就恢复不出来原信号，原因是采样频率Fs较小时，信号频谱发生了混叠，所以无法恢复。
仔细想想，这样理解当然正确，可以给出简单推导：
首先对信号采样相当于原信号$f(t)$与抽样信号$\delta$_T(t)相乘，而$\delta$_T(t)是周期性的单位冲激信号，傅里叶变换如下式：

时域相乘相当于频域卷积，所以采样后的信号的频谱就相当于$f(t)$的频谱的周期扩展， 周期就是$\omega$₁（也即Fs），那么如果以小于2F_H的采样频率采样，则周期扩展后频谱会发生混叠，无法识别原频谱。

因为频谱都是周期的，所以在分析时只需要取-Fs/2-Fs/2之间就行了，至于为什么，陈爱军老师给出了一个解释：
1、凭直觉，发生混叠时我们观察到的一般都是接近零频的混淆频率，也就是比较低的频率。例如：以fs=8Hz的采样频率分别对f1=5Hz、f2=13Hz、f3=21Hz的复指数信号进行采样，我们根据采样信号判断，一般都会认为复指数信号的频率是-3Hz=f1-fs=f2-2fs=f3-3fs，而不会认为是5Hz或者其它频率。
2、数模转换时，DAC一般选择最接近零频的混淆频率转换成模拟信号。
参考：http://www.txrjy.com/thread-394879-115-1.html

那么在实际取定采样率的时候，假如突然Fs/2外突然有干扰信号或者噪声怎么办，那么这个信号肯定会被混叠到-Fs/2-Fs/2内造成干扰。

信号是如何恢复的呢？上述采样后的信号经过一个低通滤波器就还原了原来的信号，再傅里叶反变换就行了。当然在实际中没有单位冲激脉冲，通过平顶抽样，这相当与在原来周期性单位冲激脉冲的基础上卷积了一个矩形信号，那么频谱就是乘以一个sinc函数，恢复的话先除以一个sinc函数，再经过一个低通滤波器就行了。
通过上面的频谱周期扩展，假如某个信号是10Hz附近，但是我用8Hz采样，虽然不满足奈奎斯特采样定理，但是通过混叠后依然可以把频谱移到低频，这样不也是可以获得吗？答案是正确的，但是这样要求原信号在低频本来是不存在频谱的，这不就是带通信号采样定理吗？