采样定理

采样定理是数字信号处理领域的重要定理。定理内容是连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。

严格地说，定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零（参照图1）。离散时间傅里叶变换（泊松求和公式的一种形式）提供了实际信号的解析延拓，但只能近似该条件。直观上我们希望，当把连续函数化为采样值（叫做“样本”）的离散序列并插值到连续函数中，结果的保真度取决于原始采样的密度（或采样率）。采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念；在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。

该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重构的可能性。（参见下文非基带信号采样，以及压缩感知。）

简介

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在频带限制过高（或根本没有频带限制）的情形下，重构表现出的缺陷称为混叠。现在对于此定义的陈述有时会很小心的指出x(t)必须不包括频率恰好为B的正弦曲线，或是B必须小于½的采样率。这二个门槛，2B及fs/2会称为奈奎斯特速率及奈奎斯特频率。这些是x(t)及采样设备的属性。上述的不等式会称为奈奎斯特准则，有时会称为拉贝准则（Raabe condition）。此定理也可以用在其他定义域（例如离散系统）的函数下，唯一的不同是量测t, fs和B的单位。

符号 T = 1/fs 常用来表示二次采样之间的时间间隔，称为采样周期或是采样区间。函数x(t)的采样常用x[n] = x(nT)表示（较早期的文献会用xn），其中n为正整数。

在数学上理想的采样还原（插值）和Sinc函数有关，每次的采样都用中心点在采样时间nT，幅度是采样值x[n]的Sinc函数代替。最后将Sinc函数加总，得到连续的函数。数学上等效的方式是将Sinc函数和一连串的狄拉克δ函数卷积，再依采样到的值来加权。不过这些方式在数学上都是不实际的。不过有些有限长度的函数可以近似Sinc函数，这种因为近似的不完美造成的误差称为插值误差（interpolation error）。

实际的数字模拟转换器既不会产生加权而有延迟的Sinc函数，也不会产生理想的狄拉克δ函数，若是其模拟重建是用零阶保持，其输出的是由不同幅度及有延迟的矩形函数组成的阶跃函数，一般后面会有抗镜像滤波器（anti-imaging filter）来清除假的高频成分。

混叠

如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的有损称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。
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是一个周期函数，等效为傅里叶级数，系数为T•x(nT)。此函数也称为数列T•x(nT)的离散时间傅里叶变换 (DTFT)，n为整数。

如图4所示，X(f) 的拷贝被平移了 fs 的倍数，并相加合并。对于一个带限函数（对所有 |f| ≥ B，X(f) = 0），在 fs 足够大的时候，这些拷贝之间仍然分得清楚。但如果奈奎斯特准则并不满足，相邻部分就会重叠，一般就不能明确辨别出 X(f)。任何超过 fs/2 的频率分量都会与较低的频率分量难以区分，称作与其中一个拷贝发生“混叠”。在这种情况下，通常的插值法就会产生混叠，而不是原始的分量了。

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以下两种措施可避免混叠的发生：