目录
- 所需理论推导
- 一般的时域抽样
- 理想的时域抽样与基带信号采样定理
所需理论推导
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周期信号的傅里叶变换：
在之前对傅里叶变换的介绍中我们了解到，傅里叶变换主要针对的是非周期信号，有
F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ e − j ω t ∗ f ( t ) d t F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega t}*f(t)dt F(ω)=∫−∞+∞e−jωt∗f(t)dt
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周期信号的表示：
傅里叶级数针对的是周期连续信号，一个周期连续信号，可以表示成若干个正余弦信号的叠加，如下公式：
f ( t ) = a 0 + ∑ 1 + ∞ ( a n c o s ( n ω 1 t ) + b n s i n ( n ω 1 t ) ) f(t)=a_0+\sum_{1}^{+\infty}(a_ncos(n\omega_1t)+b_nsin(n\omega _1t)) f(t)=a0+∑1+∞(ancos(nω1t)+bnsin(nω1t))
在这里，为了简化表示，将正余弦信号统一用复指数表示：
F n = 1 / 2 ∗ ( a n − j b n ) F_n=1/2*(a_n-jb_n) Fn=1/2∗(an−jbn)
因此便得到傅里叶级数的变换对：
F n = ∑ − 0.5 T 1 + 0.5 T 1 f ( t ) ∗ e − j ω s n t d t F_n=\sum_{-0.5T1}^{+0.5T1}f(t)*e^{-j \omega_s nt}dt Fn=−0.5T1∑+0.5T1f(t)∗e−jωsntdt
f ( t ) = ∑ − ∞ + ∞ F n ∗ e j ω n t f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}Fn*e^{j \omega nt} f(t)=−∞∑+∞Fn∗ejωnt
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周期信号的傅里叶变换
那么对于周期信号，怎么得到它的傅里叶变换呢：
预备知识: 1的傅里叶变换是 1 / 2 π ∗ δ ( t ) 1/2\pi*\delta(t) 1/2π∗δ(t)
F （ f ( t ) ) = F ( ∑ − ∞ + ∞ F n ∗ e j ω n t ) = ∑ − ∞ + ∞ F n F ( e j n w s t ) = 2 π ∑ − ∞ + ∞ F n δ ( w − n w s ) F（f(t))=F(\sum_{-\infty}^{+\infty}Fn*e^{j \omega nt})=\sum_{-\infty}^{+\infty}F_nF(e^{jnw_st})=2\pi\sum_{-\infty}^{+\infty}F_n\delta(w-nw_s) F（f(t))=F(−∞∑+∞Fn∗ejωnt)=−∞∑+∞FnF(ejnwst)=2π−∞∑+∞Fnδ(w−nws)
在这个式子里， F n F_n Fn如果能直接用原始的傅里叶变换的值就好了
F n = 1 / T s ∗ F 0 ( w ) F_n=1/T_s*F_0(w) Fn=1/Ts∗F0(w)
上述表达可能太抽象，用图像表示如下，时域的周期延拓带来了频域的采样，采样间隔是 2 π / T s 2\pi /Ts 2π/Ts，且采样后幅度发生了一定程度的变换。
一般的时域抽样
这里认为成均匀采样，即p(t)是由原始的信号周期延拓得到的
理想的时域抽样与基带信号采样定理
将前面的p（t)看成是理想的冲激信号叠加，频谱即直接原元频谱的周期延拓
采样定理内容也如图所示
