一.SIR模型

 

SIR模型起源于流行病学的研究，是模拟传染病动力学的经典模型。至今仍在流行病学中占据中心位置，核心在于微分方程。

SIR模型描述了流行病下三大人群：易感者 susceptible、感染者 infectious、痊愈者 recovered之间的关系。

SIR模型表述了三大人群之间的相互转化关系，并用状态转化函数来表示。

将t时刻三大人群的人数分别用以时间为自变量的函数S(t)，I(t)，R(t)来表示。描述这一模型需要给定少量重要的初始条件如模型涉及的总人数等。这些参数将作为常量参与到模型的构建中。

我们假设参与模拟的总人数为N，传染率为β。

完成易感者-感染者-痊愈者的转化需经过两个过程：即

1）感染人群因为同已经感染的人群I直接或间接接触，有一定可能性被感染。我们假设的传染率β表示易感人群在接触到感染人群时被感染的概率。

假设单位时间内被感染的易感人群与易感人群总数成正比，则这一过程可描述为：

······························（1）

其中，S表示易感人群总数，N=S+I+R表示人群总数。

 

2）感染人群痊愈，转化为R（痊愈者）。移除者包括死亡人群及被治愈个体。被治愈者从此携带有抗体，不再被二次感染。设γ为死亡或治愈的平均速率（即恢复系数），则有

 

·····································（2）

 

可以根据上式推导出现有感染人群的变化规律：

································（3）

 

式（1）-（3）共同组成了SIR模型。

利用给定的初值条件，可以通过该模型推算出对应时间t的感染情况。

 

二.扩展的SIRD模型

 

1.引入死亡人群

在SIR模型的移出者（I）中同时包含因为疫情死亡的个体和至于恢复的个体。我们在SIR模型的基础上调整了这一部分人群，扩展了死亡人群（D），组成了SIRD模型。

设感染人群的死亡率为d，则死亡数D与时间t的关系则可以表述为

 

····························（4）

 

2.SIR模型之于新冠病毒的局限

在实际进行疫情模拟的时候，疫情发展的实际情况往往要比SIR模型复杂得多。SIR模型基于普通流行病学研究能够有很好的仿真效果，然而类似2019新冠病毒的感染具有较长的潜伏期，且症状表现可能与常见的、可治愈的流行病非常相似，实际模拟的过程中就需要考虑更多的相关因素。

（1）新冠肺炎存在较长的潜伏期。在这期间患者的行为没有受限，能够感染大量的易感人群，但并未被列入感染人群I。

（2）新冠肺炎前期表现为感冒、发烧、咳嗽等，容易被误认为普通的流行病，且较不容易确诊。在这一期间，个体仍旧对群体具有传染性，但没有被划入感染人群I。

（3）由于前期临床症状与常见流感的相似性，未患病个体如果表现出了感染者的部分症状，可能被确认为“疑似”，这类个体将限制自身行动，对群体的感染性降低。

 

因此我们认为尚未被感染的易感人群以及感染者内部可能存在多种不同的行为状态，有必要进行进一步的细分。

 

 

3.细分易感人群、感染者

根据个体的健康状态和行为差异，我们对SIRD模型进行了进一步的扩展。

①SH：未患病且完全健康

没有感染且没有表现出任何症状，正常情况下可以自由活动、接触其他个体。

②SI：未患病，有疑似症状

实际上没有被传染，但是由于自身的原因（咳嗽、普通感冒等）表现出了部分症状，可能会缩减自身的活动范围、降低活动频率。

③IIU：处于潜伏期、未发现的感染者

已被感染，具有传染其他易感人群的能力，但由于处于潜伏期，没有表现出任何相关症状，行为上没有受到限制。

④IIF：处于潜伏期、已发现的感染者

具有传染其他人群的能力，但活动率降低。

⑤IAU：处于发病期、未发现的感染者

具有传染其他人群的能力，但活动率有一定可能略微降低。

⑥IAF：处于发病期、已发现的感染者

被收容救治，在一定时间后转化为R或D人群。

⑦R：被治愈的移出者，不再二次感染

⑧D：死亡人群

 

 

4.状态转换示意图

在进行疫情模拟时，我们将通过以下的思路来对