传染病模型（3）——SIR模型及matlab运行结果

article/2025/9/26 9:47:42

前言

常见的传染病模型按照具体的传染病的特点可分为 SI、SIS、SIR、SIRS、SEIR 模型。其中“S”“E”“I”“R”的现实含义如下：

S (Susceptible)，易感者，指缺乏免疫能力健康人，与感染者接触后容易受到感染；

E (Exposed)，暴露者 ，指接触过感染者但暂无传染性的人，可用于存在潜伏期的传染病；

I (Infectious)，患病者，指有传染性的病人，可以传播给 S，将其变为 E 或 I ；

R (Recovered)，康复者，指病愈后具有免疫力的人，如是终身免疫性传染病，则不可被重新变为 S 、E 或 I ，如果免疫期有限，就可以重新变为 S 类，进而被感染。

三、SIR传染病模型及matlab代码

适用于有易感者、患病者和康复者三类人群，治愈后不会再发的疾病。如水痘，康复者具有很强免疫力，不会被再次感染。对于致死性的传染病也可以使用这个模型，死亡的病人也可以归入康复者。此时的康复者可以理解为退出了传染系统。

记总人数为N，则N=S+E+I+R，这是各类人群的数量关系，在SI模型中没有E，即

$N=I+R+S$

记i和s为易感者S和患病者I占总数N的比例， $S=N\cdot s$

易感者S和患病者I之间的关系是患病者接触易感者将易感者转化为患病者，并且易感者者越多、患病者越多，转化为患病者的人也就越多。记单个患病者每天接触 $\lambda \cdot s$ 个易感者， $\lambda$ 是接触率即单个患病者每天平均接触的易感者比例。

每天被治愈的患病者人数占病人总数的比率为 $\mu$ ，即日治愈率。被治愈的病人有很强的免疫力，不会被再次感染。

matlab代码

clc;
close all;
clear all;
I=10;
R=0;
N=10000;
S=N-I;
lemda=0.2;
mu=0.05;
t=1:365;
for i=1:(size(t,2)-1)I(1+i)=I(i)+I(i)*(N-I(i)-R(i))*lemda/N-mu*I(i);S(1+i)=S(i)-lemda*I(i)*S(i)/N;R(1+i)=N-I(1+i)-S(1+i);
end
plot(t,I,t,S,t,R)
xlabel('时间')
ylabel('人数')
legend('患病者','易感者','康复者')
title('SIR传染病模型')

结果如下