SIR传染病模型（微分方程系列1）

article/2025/9/26 12:54:17

一：基本参数

SIR模型是常见的一种描述传染病传播的数学模型，其基本假设是将人群分为以下三类：

S:(Susceptible):易感人群，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染。

I:(Infective):患病人群，指染上传染病的人，他可以传播给易感人群。

R:(Removed）：移除人群，被移出系统的人，因病愈（具有免疫力）或死亡的人。这部分人不再参与感染和被感染过程。

二：问题假设

1：没有天生携带抗体的人

2：总人数N不变且仅包含三种健康状态，健康人、病人和移出者的比例分别为s ( t ) , i ( t ) , r ( t )

3：病人的日接触率为 $\lambda$ ，日治愈率为 $\mu$ ，接触数 $\sigma = \lambda / \mu$

4：假设给定的数据真实可靠，不考虑人口的自然出生，自然死亡以及其他类型的人口流动

5: 假设严格隔离的新型冠状病毒感染病人都不再传染他人

三：模型建立

具体这个模型是咋写出来的，下面是我的推导过程（手稿）

实在无法理解的话，仅需要把SIR的固定模式牢记即可（上面的黄图)

这里我们设 $\lambda$ =1， $\mu$ =0.5，即每个患者可以传染一个易感染者，治愈率为0.5；

初值条件我们设定的初始易感染者S为0.99，初始患者I为0.01，那为啥没有R（治愈者）的初值条件呢，因为我们已经假设没有天生就携带抗体的人，所以R（0）=0，就不需要写，但在之后的过程中会出现携带抗体的人即治愈者，R=1-S-i

四代码实现

首先建立一微分方程函数

function   y = covid(t,x)    %因为我们的微分方程是X关于t的变化率的体现a=1;      %感染率miu的参数配置b=0.5;    %治愈率lamda的参数配置y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
end

主函数

ts=0:40;
x0=[0.01, 0.99];
[t,x]=ode45(@ill,ts,x0);
r=1-x(:,1)-x(:,2);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,r),grid
legend('i(t)','s(t)','r(t)')

运行结果