向量点乘：a * b（常被写为a · b）

点乘,也叫向量的内积、数量积.顾名思义,求下来的结果是一个数.
向量a·向量b=|a||b|cos
在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘.

向量叉乘：a ∧ b（常被写为a x b）

叉乘,也叫向量的外积、向量积.顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c.
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin
向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向）.
因此向量的外积不遵守乘法交换率,因为
向量a×向量b=-向量b×向量a
在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘.

多维向量的点乘和叉乘

将向量用坐标表示（三维向量）

点乘
若 向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
则 向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

叉乘（需要用到行列式的知识，请参考博客）
向量a×向量b=
| i j k|
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)=i(b1c2-b2c1)-j(a1c2-c1a2)+k(a1b2-a2b1)
（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

至于什么几何意义，可以参考博客向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读_牧野的博客-CSDN博客_向量点乘

叉乘的用处

这个方法很有用处。比如判断一个点是否在一条线段的左边还是右边，可以用X乘来判断，或者判断两条线段是否相交

矩阵的内积、外积 

矩阵外积

矩阵内积