偏差和方差

机器学习算法针对特定数据所训练出来的模型并非是十全十美的，再加上数据本身的复杂性，误差不可避免。说到误差，就必须考虑其来源：模型误差 = 偏差（Bias）+ 方差（Variance）+ 数据本身的误差。其中数据本身的误差，可能由于记录过程中的一些不确定性因素等导致，这个我们无法避免，能做的只有不断优化模型参数来权衡偏差和方差，使得模型误差尽可能降到最低。
偏差：导致偏差的原因有多种，其中一个就是针对非线性问题使用线性方法求解，当模型欠拟合时，就会出现较大的偏差
方差：产生高方差的原因通常是由于模型过于复杂，即模型过拟合时，会出现较大的方差
通常情况下，我们降低了偏差就会相应地使得方差提高，降低了方差就会相应地提高了偏差，所以在机器学习的模型中，我们总是希望找到一组最优的参数，这些参数能权衡模型的偏差和方差，使得模型性能达到最优。我在知乎上找到这样一张图方便各位理解。

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岭回归

针对高方差，即过拟合的模型，解决办法之一就是对模型进行正则化：限制参数大小（由于本篇博客所提到的岭回归和Lasso都是正则化的特征选择方法，所以对于其他解决过拟合的方法不多赘述）当线性回归过拟合时，权重系数wj就会非常的大，岭回归就是要解决这样的问题。岭回归（Ridge Regression）可以理解为在线性回归的损失函数的基础上，加,入一个L2正则项，来限制W不要过大。其中λ>0，通过确定λ的值可以使得模型在偏差和方差之间达到平衡，随着λ的增大，模型的方差减小，偏差增大。

我们可以像线性回归一样，利用最小二乘法求解岭回归模型的参数，对W求导，令倒数等于0，可求得W的解析解，其中I为m x m的单位矩阵，所以也可以说岭回归就是在矩阵X^TX上加一个λI使得矩阵非奇异，进而能对XTX+λI求逆：

为了可视化，我们还引用上篇博客的测试用例，使用Pipeline封装多项式特征，归一化，线性回归方法，为了说明问题并将PolynomialFeatures的参数degree调整到40，此时模型很明显得出现了过拟合，产生了高方差：

poly_reg = Pipeline([("poly", PolynomialFeatures(degree=40)),("std_scaler", StandardScaler()),("lin_reg", LinearRegression())])

使用sklearn封装的岭回归方法进行测试，详情请见

poly_reg = Pipeline([("poly", PolynomialFeatures(degree=40)),("std_scaler", StandardScaler()),("ridge_reg", Ridge(alpha=0.01))])

对比图中红线可以看到，λ=0.01时，虽然多项式特征的degree=40，相较于直接使用线性回归，岭回归已经很好的解决高方差的问题，但λ不能过大，当λ=1000时明显的出现了欠拟合，相应的模型的偏差也增大了，我们的目的就是要权衡偏差和方差，使模型达到最优。

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Lasso

Lasso回归和岭回归类似，不同的是，Lasso可以理解为在线性回归基础上加入一个L1正则项，同样来限制W不要过大。其中λ>0，通过确定λ的值可以使得模型在偏差和方差之间达到平衡，随着λ的增大，模型的方差减小，偏差增大。

Lasso趋向于使得一部分w值变为0，所以可以作为特征选择用，因为这里的L1正则项并不是处处可导的，所以并不能直接使用基于梯度的方法优化损失函数，若要从底层实现，可以使用拟牛顿法的BFGS算法，逐步向前回归，我这里直接用sklearn封装的Lasso，请参见

任然使用Pipeline封装

poly_reg = Pipeline([("poly", PolynomialFeatures(degree=40)),("std_scaler", StandardScaler()),("ridge_reg", Lasso(alpha=0.01))])

可以看到，Lasso的收敛速度要比岭回归要快的，当λ=10的时候红线就已经近乎和坐标轴平行了，产生了很大的偏差。

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总结

Lasso由于使用L1正则项，所以具有一定的特征选择功能，因为L1正则倾向于产生稀疏稀疏，它可以将一些“对标签没有用处”的特征对应的系数压缩为0，进而将对结果有较大影响的特征突显出来，而岭回归中L2正则项不具备这个功能，它只会讲一些无关特征的系数降到一个较小的值，但不会降为0。并且L2正则有解析解，L1没有，所以还有一种对岭回归和Lasso折中的方法------弹性网络（Elastic Net）