4.4.1 rlocus
⒈.功能：绘制系统的根轨迹。
⒉.格式：
[r,k]=rlocus(n,d)
[r,k]=rlocus(g)
[r,k]=rlocus(n,d,k)
[r,k]=rlocus(g,k)
⒊.说明：
rlocus 函数可计算出或画出SISO系统的根轨迹，其中g(或n,d)为对象模型，输入变量k为用户自已选择的增益向量，当k缺省时则为系统自动生成增益向量k, 返回变量r为根轨迹各个点构成的复数矩阵.如果在函数调用中不返回任何参数，则rlocus函数在当前窗口中画出系统的根轨图。
4.4.2 rlocfind
⒈ 功能：计算给定一组根的根增益。
⒉格式：
[k,p]=rlocfind(n,d)
[k,p]=rlocfind(n,d,k)
[k,p]=rlocfind(g)
[k,p]=rlocfind(g,k)
⒊说明：
本 函数允许用户求取根轨迹上指定点的开环根轨迹增益值，并将该增益下所有的闭环极点显示出来。当这个函数启动起来之后，在图形窗口上出现要求用户使用鼠标定 位的提示，这时用户用鼠标点击根轨迹上所要求的点后，将返回一个k值,同时返回该k值下的所有闭环极点p的值，并将此闭环极点直接在根轨道曲线上显示出 来。
4.4.3 grid
⒈.功能:在连续系统根轨迹图中绘制出阻尼系数和自然频率栅格。
⒉.格式：
sgrid
sgrid('new')
sgrid(z,w)
sgrid(z,w,'new')
⒊.说明： 本函数允许用户在连续系统根轨迹图中绘制出阻尼系数和自然频率栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成，其中输入z,w为绘制指定阻尼系数和自然频 率，当缺省时阻尼系数线以步长0.1从ξ=0到ξ=1绘出。Sgrid('new')函数先清除图形屏幕，然后绘制出栅格线，并设置成hold on，使后续绘图命令能绘制在栅格上。
例4-1 设一单位反馈控制系统开环传递函数如下，试绘制该系统的根轨迹。
⒈常规方法
根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下：
⑴.根迹的起迄点及条数：
先画出系统的，以×来表示的开环极点。其分布如图4-8所示。系统有三条根轨迹分支，它们的起始点为开环极点(0，-1，-2)。因为没有开环零点，所以三条根轨迹分支均沿着渐近线趋向无限远处。
 |
| 图4-8 |
⑵.实轴上的根轨迹：
由规则四知,实轴上的0至-1和-2至-∞间的线段是根轨迹。
⑶.渐近线：
由规则五知，本系统根轨迹的渐近线,有三条。据其与实轴的夹角公式:
求得,分别为60L，180L，300L 。
渐近线与实轴的交点之
这样，可作出根轨迹的渐近线，如图4-8中的粗实线所示。
⑷.分离点:
起始于开环极点0，-1的两条根轨迹，随着 从0向∞的增大过程中，存在某个 ,会使根规迹从实轴上分离,而进入复平面。此时对应的闭环极点,即分离点。就是特征方程重根所对应的 平面上的点。
根据公式： 
即： 
得： 
因为分离点必须位于0和-1之间， 
不是实际的分离点。 
才是相应的实际分离点。
⑸.根轨迹与虚轴的交点：
令特征方程中的 
,其方程变为
即： 
令上述方程中的实部和虚部分别等于零，可得：
于是得到： 
因此，根轨迹在ω=± 
点与虚轴相交，交点对应的 
值等于6。
⑹.根据上面结果，系统完整的根轨迹如图4-8粗实线所示。
在例4-1中，若给定一对主导极点的阻尼比ζ＝0．5。这样，据
θ=± cos-1ξ=±cos-10.5=600 ,在图4-8中作 600线，得到它与根轨迹的交点，可以确定一对共轭极点为-0.33土j0.58。根据幅值条件，对应的开环增益K值等于各开环极点至此点距离之积，即: 
用试探法可以此K值下的另一个闭环极点。它们位于负实轴的-2.33处。因此，系统的闭环传递函数为
⒉“MATLAB”方法
⑴.解本题的MATLAB程序exe41’.m,及结果:
% k/s(s+1)(s+2)
n=[1];
d=[conv([1,1],[1,2]) 0];
kos=[0.5,0.707];
w=[0.5,1];
sgrid(kos,w)
hold on
rlocus(n,d)
title(‘4-14’)
[k,p]=rlocfind(n,d)
hold off
执行本程序，可在图形窗口自动绘制带指定阻尼线和自然频率栅格线的根轨迹图4-14,用鼠标点击根轨迹上所要求的点后，就返回下面k值,同时返回该k值下的所有闭环极点p的值，并将此闭环极点直接在根轨道曲线图上显示出来。
k=1.0258
p=-2.3307
-0.3341+0.5728i
-0.3341-0.5728i
 |
| 图4-14 |
例4-2 设一单位反馈控制系统开环传递函数如下，试绘制该系统的根轨迹。
⒈常规方法
根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的
根轨迹绘制步骤如下：
⑴. 根规迹的起迄点及条数:
系统有三个开环极点0, -2，-3,一个开环零点-1。先在 复平面上画出系统的开环极点、零点。其分布如图4-10所示。
 |
| 图4-10 |
图4—10
(×表示极点，ｏ表示零点。) 系统有三条根轨迹分支，它们的起点为开环的三个极点(0，-2，-3)。终点为,一个开环零点“-1”,两个开环无穷远零点。故知,三条根轨迹分支,一条终止于开环零点-1，两条终止于 平面的无穷远处。
⑵.实轴上的根轨迹:
由规则四知,实轴上的0至-1和-2至-3间的线段是根轨迹。
⑶.根轨迹的渐近线:
由规则五知，二条渐近线与实轴的夹角为 
分别为 90L，270L，
渐近线与实轴的交点之
据此，可作出根轨迹的渐近线，如图4—10中的细实线所示。
⑷.根规迹的分离点:
由规则六知，起始于开环极点-2，-3的两条根轨迹，随着 
的增大，从实轴上分离,并进入复平面。分离点就是方程 
的解,所对应的在 
平面上的点。根据公式 
，可求出分离点是（-2.47）。
⑸.系统完整根轨迹图:
根据上面结果，可画出系统完整的根轨迹,如图4-10粗实线所示。
⒉“Matlab”方法
⑴.解本题的MATLAB程序ex42.m:
% k(s+1)/s(s+2)(s+3)
k=1
z=[-1]；
p=[0,-2,-3];
[n,d]=zp2tf(z,p,k);
rlocus(n,d)
title(‘4-11’)
⑵.注：
①.zp2tf()为转换函数，它将传递函数由零
极点形式转换为多项式形式函数。
②.执行本程序后可得图4-11所示的根轨迹图。
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| 图4-11 |
例4-3 设一单位反馈控制系统开环传递函数为 
试绘制该系统的根轨迹。
⒈常规方法
⑴．根规迹的起迄点及条数:
此系统开环极点为0，-3，-1±j1,无开环零点，画出系统的开环极点分布如图4—12所示。
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| 图4-12 |
系统有四条根轨迹分支，它们起始于
四个开环极点， 因为没有开环零点，
所以四条根轨迹分支均沿着渐近线趋向于s 平面的无穷远处。
⑵．实轴上的根轨迹:
由规则四知,实轴上的0至-3线段是根轨迹。
⑶．根轨迹的渐近线:
由规则五知，渐近线与实轴的夹角分别为±45L，±135L，渐近线与实轴的交点为-1.25. 据此，作出根轨迹的渐近线，如图4—12中的细线所示。
⑷．根迹的分离点:
在这一点上，起始于开环极点0，-3的两条根轨迹，随着K增大到一定值(如为Kφ)，根迹会从实轴上分离,并进入复平面。由系统特征方程可得
上式的根为
为所求分离点。
据规则,得分离角为±90L。对应分离点的 值可按下式求得：
=2.3×0.7×1.64×1.64=4.33
⑸．根迹的出射角:
据规则七，根轨迹在复数极点-1+j1的出射角：
⑹．根迹与虚轴的交点:
系统特征方程 
即： 
令特征方程中的 ,其方程变为：
即： 
令上述方程中的实部和虚部分别等于零，
可解得：
⑺.系统完整的根轨迹：
根据上面结果，可获得系统完整的根轨迹,
如图4-12粗实线所示。
2.“Matlab”方法
⑴.解本题的Matlab程序ex43.m:
% k/s(s+3)(s2+s2s+2)
g=tf(1,[conv([1,3],[1,2,2]) 0])
rlocus(g)
title(‘4-13’)
⑵.注：
①.函数tf(n,d)返回一传递函数，其分子多项式系数为n，其分母多项式系数为d。
②.执行本程序后可得图4-13所示的根轨迹图。
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| 图4-13 |
在例4-3中，若给定一对主导极点的阻尼比ζ＝0．5。根据ζ＝0．5线与根轨迹的交点，可以确定一对共轭极点为-0.4土j0.7。对应的开环增益 值等于各开环极点至此点距离之积，即
用试探可以另两个闭环极点。它们位于负实轴的-1.4和-2.85处。因此，系统的闭环传递函数为
⑵.解本题的MATLAB程序exe43’.m:
% k/s(s+3)(s2+2s+2)
g=tf(1,[conv([1,3],[1,2,2]) 0]);
kos=[0.5,0.707];
w=[0.3,0.6,0.9];
sgrid(kos,w)
hold on
rlocus(g)
title(‘4-15’)
[k,p]=rlocfind(g)
hold off
执行本程序,可得图4-15，用鼠标点击
根轨迹上所要求的点后得如下结果：
k=2.5790
p=-2.7765
-1.3903
-0.4166+0.7032i
-0.4166-0.7032i
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