Chapter8.3：控制系统校正的根轨迹法

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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

3.控制系统校正的根轨迹法

3.1 概述

根轨迹法是一种图解法，描述了系统某一参数从零变化到无穷大时，其闭环极点位置的变化；
通过引入适当的校正装置来改变原来系统的根轨迹，以获得期望的系统性能；
引入校正装置即在系统中增加零极点，通过零极点的变化改变根轨迹的形状；
用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零极点来改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在 $s$ 平面上通过希望的闭环极点；
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，零点和附加的极点会影响响应特性；
应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上；
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间；
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间；
当系统性能指标是以最大超调量、上升时间、调节时间、阻尼比，及希望的闭环阻尼比、闭环极点无阻尼频率等表示时，采用根轨迹法进行校正较为方便；
采用根轨迹法确定串联校正参数的条件是：
- 已确定采用串联校正方案；
- 给定时域指标： $\sigma_p、t_s、e_{ss}(\infty)$ ；

3.2 基于根轨迹法的超前校正

用根轨迹法设计超前校正装置步骤：

先假定系统的控制性能由靠虚轴最近的一对闭环共轭极点 $s_d$ 主导；
应用二阶系统参量 $\zeta$ 和 $\omega_n$ 与时域指标之间的关系，按给定的 $\sigma_p$ 和 $t_s$ 确定闭环主导极点的位置；
绘制原系统根轨迹，如果根轨迹不能通过希望的闭环主导极点，则表明仅调整增益不能满足给定要求，需要增加校正装置；如果原系统根轨迹位于期望极点的右侧，则应加入超前校正装置；
计算超前校正装置应提供的超前相角；
按下式计算校正装置零极点位置：
$\varphi_c=±(2k+1)\pi-\angle{G_0(s_d)}$
由幅值条件确定校正后系统增益；
校验系统的性能指标，如果系统不能满足要求指标，适当调整零极点位置；如果需要大的静态误差系数，则应采用其他方案；

3.3 基于根轨迹法的滞后校正

用根轨迹法设计滞后校正装置步骤：

绘制出未校正系统的根轨迹；
根据要求的瞬态响应指标，确定希望的闭环主导极点，根据根轨迹的幅值条件，计算与主导极点对应的开环增益；
按给定的性能指标中关于稳态误差的要求，计算应增大的误差系数值；
由应增大的误差系数值确定校正装置 $\beta$ 值，通常 $\beta$ 取值不超过 $10$ ；
确定滞后校正装置的零极点，原则是使零极点靠近坐标原点，且两者相距 $\beta$ 倍；
绘制校正后系统的根轨迹，并求出希望的主导极点；
由希望的闭环极点，根据幅值条件，适当调整放大器的增益；
校验校正后系统各项性能指标，如不满足要求，则适当调整校正装置零极点位置；

3.4 基于根轨迹法的超前滞后校正

用根轨迹法设计超前滞后校正装置步骤：

根据要求的性能指标，确定希望的主导极点 $s_d$ 位置；
为使闭环极点位于希望的位置，计算超前滞后校正中超前部分应产生的超前相角：
$\varphi_c=±(2k+1)\pi-\angle{G_0(s_d)}$
超前滞后校正装置的传递函数为：
$\varphi_c=±(2k+1)\pi-\angle{G_0(s_d)}，G_c(s)=K_c\left(\frac{s+\displaystyle\frac{1}{T_1}}{s+\displaystyle\frac{\beta}{T_1}}\right)\left(\frac{s+\displaystyle\frac{1}{T_2}}{s+\displaystyle\frac{1}{T_2\beta}}\right)$
对超前滞后校正中滞后部分的 $T_2$ 选择要足够大，即：
$\begin{vmatrix} \displaystyle\frac{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2}}{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2\beta}} \end{vmatrix}=1，\begin{vmatrix} \displaystyle\frac{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_1}}{s_d+\displaystyle\frac{\beta}{T_1}} \end{vmatrix}\begin{vmatrix}K_1G_0(s_d)\end{vmatrix}=1，\angle\left(s_d+\displaystyle\frac{1}{T_1}\right)-\angle\left(s_d+\displaystyle\frac{\beta}{T_1}\right)=\varphi$
利用求得的 $\beta$ 值，选择 $T_2$ ，使：
$\begin{vmatrix} \displaystyle\frac{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2}}{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2\beta}} \end{vmatrix}≈1，0°<\angle\left(\frac{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2}}{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2\beta}}\right)<3°$
检验性能指标。

3.5 MATLAB/SIMULINK在根轨迹法校正中的应用

3.5.1 实战1：超前校正

实验要求：已知控制系统开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{2.3}{s(1+0.2s)(1+0.15s)}$ ，设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数 $K_v≤4.6$ ，闭环主导极点满足阻尼比 $\zeta=0.2$ ，自然振荡角频率 $\omega_n=12.0{\rm rad/s}$ ，绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解：

【 ${\rm STEP1}$ 】：计算串联超前校正环节参数子函数程序设计。

% get_param子函数，文件名：get_param.m
function Gc=get_param(G,s1,kc)
numG=G.num{1};denG=G.den{1};
ngv=polyval(numG,s1);dgv=polyval(denG,s1);
g=ngv/dgv;
theta_G=angle(g);theta_s=angle(s1);
MG=abs(g);Ms=abs(s1);Tz=(sin(theta_s)-kc*MG*sin(theta_G-theta_s))/(kc*MG*Ms*sin(theta_G));
Tp=-(kc*MG*sin(theta_s)+sin(theta_G+theta_s))/(Ms*sin(theta_G));Gc=tf([Tz,1],[Tp,1]);

【 ${\rm STEP2}$ 】：求解系统校正环节传递函数和校正后闭环传递函数及各响应曲线。

% 实例Chapter8.3.5.1
clc;clear;% 建立校正前控制系统开环传递函数
num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1]));
G=tf(num,den);% 校正后系统的性能要求
zeta=0.2;wn=12.0;
[num,den]=ord2(wn,zeta);
s=roots(den);
s1=s(1);kc=2;
Gc=get_param(G,s1,kc);GGc=G*Gc*kc;                    % 校正后系统开环传递函数
G_bf_close=feedback(G,1);       % 校正前系统闭环传递函数
G_af_close=feedback(GGc,1);     % 校正后系统闭环传递函数% 绘制单位阶跃响应
figure(1);
step(G_af_close,'b',3.5);hold on;
step(G_bf_close,'r',3.5);grid;
legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);% 绘制单位脉冲响应
figure(2);
impulse(G_af_close,'b',3.5);hold on;
impulse(G_bf_close,'r',3.5);grid;
legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);% 绘制校正前后系统根轨迹图
figure(3);
rlocus(G,GGc);grid;
legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数
Gc,G_af_close

% 校正环节传递函数
Gc = 1.016 s + 1------------0.0404 s + 1% 校正后系统闭环传递函数
G_af_close = 4.672 s + 4.6-------------------------------------------------------0.001212 s^4 + 0.04414 s^3 + 0.3904 s^2 + 5.672 s + 4.6

【 ${\rm STEP3}$ 】：系统校正前后单位阶跃响应曲线。

【 ${\rm STEP4}$ 】：系统校正前后单位脉冲响应曲线。

【 ${\rm STEP5}$ 】：系统校正前后根轨迹。

【 ${\rm STEP6}$ 】：性能分析。

串联超前校正环节传递函数为： $G_c(s)=\displaystyle\frac{1.016s+1}{0.0404s+1}$ ；
由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调： $\sigma=17.3\%$ ，上升时间： $t_r=0.58{\rm s}$ ，调节时间： $t_s=2.92{\rm s}$ ；
由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调： $\sigma=31.7\%$ ，上升时间： $t_r=0.123{\rm s}$ ，调节时间： $t_s=2.3{\rm s}$ ；
因此，系统经串联超前校正后，系统性能提高；
从根轨迹图知，校正后系统根轨迹左移，提高系统相对稳定性，缩短系统调节时间；

3.5.2 实战2：滞后校正

实验要求：已知系统开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{4}{s(s+2.5)}$ ，设计串联滞后校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数： $K_v≤6$ ，闭环主导极点满足阻尼比： $\zeta=0.407$ ，绘制校正前后系统单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应、根轨迹。

解：

【 ${\rm STEP1}$ 】：计算串联滞后校正环节参数子函数程序设计。

% get_param_02子函数，文件：get_param_02.m
function [Gc,kc]=get_param_02(G,zeta,wc,Tz)
G=tf(G);[r,k]=rlocus(G);
za=zeta/sqrt(1-zeta^2);ri=r(1,find(imag(r(1,:))>0));
ra=imag(ri)./real(ri);
kc=spline(ra,k(find(imag(r(1,:))>0)),1/za);syms x;syms ng;syms dg;
ng=poly2sym(G.num{1});dg=poly2sym(G.den{1});
ess=limit(ng*kc/dg*x);
beta=round(100/sym2poly(ess)/wc);Tp=Tz/beta;
Gc=tf([1,Tz],[1,Tp]);

【 ${\rm STEP2}$ 】：求解系统校正环节传递函数和校正后闭环传递函数及各响应曲线。

% 实例Chapter8.3.5.2
clc;clear;% 建立校正前控制系统开环传递函数
num=4;den=conv([1,0],[1,2.5]);
G=tf(num,den);% 校正后系统的性能要求
zeta=0.407;wc=6;Tz=0.1;
[Gc,Kc]=get_param_02(G,zeta,wc,Tz);GGc=G*Gc*Kc;                    % 校正后系统开环传递函数
G_bf_close=feedback(G,1);       % 校正前系统闭环传递函数
G_af_close=feedback(GGc,1);     % 校正后系统闭环传递函数% 绘制单位阶跃响应
figure(1);
step(G_af_close,'b');hold on;
step(G_bf_close,'r');grid;axis([0 15 0 1.4]);
legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);% 绘制单位脉冲响应
figure(2);
impulse(G_af_close,'b');hold on;
impulse(G_bf_close,'r');grid;
legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);% 绘制校正前后系统根轨迹图
figure(3);
rlocus(G,GGc);grid;
legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数
Gc,Kc,G_af_close

% 滞后校正环节传递函数
Gc = s + 0.1---------s + 0.025% 系统增益
Kc =2.3581% 校正后系统闭环传递函数
G_af_close = 9.433 s + 0.9433----------------------------------s^3 + 2.525 s^2 + 9.495 s + 0.9433

【 ${\rm STEP3}$ 】：系统校正前后单位阶跃响应曲线。

【 ${\rm STEP4}$ 】：系统校正前后单位脉冲响应曲线。

【 ${\rm STEP5}$ 】：系统校正前后根轨迹。

【 ${\rm STEP6}$ 】：性能分析。

串联滞后校正环节传递函数为： $G_c(s)=\displaystyle\frac{s+0.1}{s+0.025}$ ；
由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调： $\sigma=8.08\%$ ，上升时间： $t_r=0.961{\rm s}$ ，调节时间： $t_s=2.99{\rm s}$ ；
由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调： $\sigma=27.4\%$ ，上升时间： $t_r=0.478{\rm s}$ ，调节时间： $t_s=2.3{\rm s}$ ；
因此，系统经串联滞后校正后，系统性能提高；

3.5.3 实战3：超前滞后校正环节

实验要求：已知系统开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{8}{s(s+0.4)}$ ，设计超前滞后校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数： $K_v≤5$ ，闭环主导极点满足阻尼比： $\zeta=0.2$ 和自然振荡角频率： $\omega_n=5{\rm rad/s}$ ，相角裕度为： $50°$ ，绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。

解：

【 ${\rm STEP1}$ 】：主函数。

% 实例Chapter8.3.5.3
clc;clear;% 建立控制系统模型
z=[];p=[0,-0.4];k=8;
Gz=zpk(z,p,k);G=tf(Gz);
zeta=0.2;wn=5;
kc=1;Tz=0.1;dPm=50+5;
ng=G.num{1};            % 把G.num中的第一个元胞赋给ng.
[num,den]=ord2(wn,zeta);
s=roots(den);
s1=s(1);Gc1=get_param(G,s1,kc);
G1=G*Gc1*kc;[Gc2,Kc2]=get_param_02(G,zeta,wn,Tz);
GGc=G1*Gc2*Kc2;                 % 校正后系统开环传递函数
G_bf_close=feedback(G,1);       % 校正前系统闭环传递函数
G_af_close=feedback(GGc,1);     % 校正后系统闭环传递函数% 绘制单位阶跃响应
figure(1);
step(G_af_close,'b');hold on;
step(G_bf_close,'r');grid;
legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);% 绘制单位脉冲响应
figure(2);
impulse(G_af_close,'b');hold on;
impulse(G_bf_close,'r');grid;
legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);% 绘制校正前后系统根轨迹图
figure(3);
rlocus(G,GGc);grid;
legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数
Gc1,Gc2,G_af_close

【 ${\rm STEP2}$ 】：超前环节传递函数、滞后环节传递函数和校正后闭环传递函数。

% 超前校正环节传递函数
Gc1 = 1.358 s + 1-----------0.425 s + 1% 滞后校正环节传递函数
Gc2 = s + 0.1----------s + 0.0125% 校正后系统闭环传递函数
G_af_close = 1.358 s^2 + 1.136 s + 0.1-------------------------------------------------0.425 s^4 + 1.175 s^3 + 1.773 s^2 + 1.141 s + 0.1

【 ${\rm STEP3}$ 】：单位阶跃响应曲线。

【 ${\rm STEP4}$ 】：单位脉冲响应曲线。

【 ${\rm STEP5}$ 】：系统根轨迹曲线。

【 ${\rm STEP6}$ 】：系统性能分析。

串联超前滞后校正环节传递函数为： $G_c(s)=0.125\times\displaystyle\frac{s+0.1}{s+0.0125}\times\displaystyle\frac{1.358s+1}{0.425s+1}$ ；
由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调： $\sigma=79.9\%$ ，上升时间： $t_r=0.384{\rm s}$ ，调节时间： $t_s=19.1{\rm s}$ ；
由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调： $\sigma=28.9\%$ ，上升时间： $t_r=0.907{\rm s}$ ，调节时间： $t_s=4.19{\rm s}$ ；
因此，系统经串联超前滞后校正后，系统性能提高；