此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

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第四章：根轨迹法

Example 4.21

设系统结构图如下图所示，概略绘制$K$从$0\to +\infty$时系统的闭环根轨迹图，并确定系统稳定时$K$值的范围.

解：

系统开环传递函数为：
$$G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{(-s+1)(s^2+6s+1)}$$
由于系统的反馈极性为正，概略绘制$K$从$0\to +\infty$时系统的闭环根轨迹图，相当于绘制下列系统的常规根轨迹图：
$$G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{(s-1)(s^2+6s+1)}=\frac{K^{\ast }(s+1)}{(s-1)(s+0.17)(s+5.83)}，K^{\ast }=K$$

1. 实轴上的根轨迹：$[-5.83，-1]，[-0.17，1]$；

2. 根轨迹的渐近线
   $${\sigma }_a=\frac{-5.83-0.17+1+1}{2}=-2，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{2}$$

3. 根轨迹的分离点坐标满足
   $$\frac{1}{d+5.83}+\frac{1}{d+0.17}+\frac{1}{d-1}=\frac{1}{d+1}$$
   解得：$d=0.315$；

4. 根轨迹与虚轴的交点

   由系统的开环传递函数可知，系统的闭环特征方程为：
   $$D(s)=(s-1)(s^2+6s+1)+K(s+1s)=s^3+5s^2+(K-5)s+K-1=0$$
   令$s=\mathrm{j}\omega$代入特征方程：
   $$(\mathrm{j}\omega {)}^3+5(\mathrm{j}\omega {)}^2+(K-5)(\mathrm{j}\omega )+K-1=0$$
   即
   $$\{\begin{array}{ll}& -5{\omega }^2+K-1=0\\ & \\ & -{\omega }^3+(K-5)\omega =0\end{array}\Rightarrow \omega =\pm 1，K=6$$

5. 概略根轨迹
   

6. 由根轨迹图可知，当$K>6$时，系统稳定.

Example 4.22

设系统如下图所示，根据根轨迹确定闭环系统稳定时增益$K_1$和$K_2$的区域$(K_1\ge 0，K_2\ge 0)$.

解：

开环传递函数为：
$$G(s)H(s)=\frac{K_{2}s+K_1+K_2}{s(s+1)(s+3)}=\frac{K^{\ast }(s+(K_1+K_2)/K_2)}{s(s+1)(s+3)}$$
其中：$K^{\ast }=K_2$.

实轴上的根轨迹：$[0,-1]，[-3，-(K_1+K_2)/K_2]$；

因为$K_1\ge 0，K_2\ge 0$，故$-(K_1+K_2)/K_2<-1$，分两种情况讨论：

1. $-3<-(K_1+K_2)/K_2<-1$时取$K_1=K_2$，即$-(K_1+K_2)/K_2=-2$.

   1. 根轨迹的渐近线
      $${\sigma }_a=\frac{0-1-3+2}{2}=-1，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{2}$$

   2. 根轨迹的分离点
      $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+2}$$
      解得：
      $$d_1=-0.53，d_{2,3}=-2.23\pm \mathrm{j}0.79(舍去)$$
      故分离点坐标为：$d=-0.53$；

   3. 根轨迹如下图1所示

2. $-(K_1+K_2)/K_2\le -3$时取$K_1=3K_2$，即$-(K_1+K_2)/K_2=-4$.

   1. 根轨迹的渐近线
      $${\sigma }_a=\frac{0-1-3+4}{2}=0，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{2}$$

   2. 根轨迹的分离点
      $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+4}$$
      解得：
      $$d_1=-0.49，d_2=-2.43(舍去)，d_3=-5.09(舍去)$$
      故分离点坐标为：$d=-0.49$；

   3. 根轨迹如下图2所示

3. 【根轨迹】
   
   由根轨迹图可知，$K_1\ge 0，K_2\ge 0$时，系统稳定.

Example 4.23

设系统开环传递函数为：$G(s)=\frac{100}{s(s+10+100b)}$，绘制参数$b$从零变化到无穷时的根轨迹.

解：

系统的闭环特征方程为：
$$D(s)=s(s+10+100b)+100=s^2+10s+100+100bs=0$$
等价表示为：
$$1+G_1(s)=1+\frac{100bs}{s^2+10s+100}=1+\frac{100bs}{(s+5-\mathrm{j}8.66)(s+5+\mathrm{j}8.66)}$$
即等效开环传递函数为：
$$G_1(s)=\frac{100bs}{(s+5-\mathrm{j}8.66)(s+5+\mathrm{j}8.66)}$$

1. 实轴上的根轨迹：$(-\infty ，0]$；

2. 根轨迹分离点：根轨迹分离点满足
   $$\frac{1}{d+5+\mathrm{j}8.66}+\frac{1}{d+5-\mathrm{j}8.66}=\frac{1}{d}$$
   解得：
   $$d_1=-10，d_2=10(舍去)$$
   故分离点坐标为：$d_1=-10$.

3. 根轨迹起始角
   $$\begin{array}{rl}& {\theta }_{p_1}=180°+{\phi }_{z_1{p}_1}-{\theta }_{p_2{p}_1}=180°+\arctan (8.66/5)-90°=150°\\ & \\ & {\theta }_{p_2}=-150°\end{array}$$

4. 根轨迹
   
   其复数根轨迹部分是以$(0，0)$为圆心，半径为$10$的圆的一部分.

   分离点$d=-10$处的$b$值可由模值条件求出：
   $$100b=\frac{\prod _{i=1}^2|d-p_i|}{|d-z_i|}=\frac{100}{10}=10\Rightarrow b=0.1$$

Example 4.24

已知多项式方程为：
$$s^3+2.1s^2+6.2s+4.4=0$$
用根轨迹法确定多项式方程的根.

解：

多项式的等效开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K}{s^3+2.1s^2+6.2s}=\frac{K}{s(s+1.05-\mathrm{j}2.26)(s+1.05+\mathrm{j}2.26)}$$
其中：$K=4.4$。

系统开环极点为：
$$p_1=0，p_2=-1.05+\mathrm{j}2.26，p_3=-1.05-\mathrm{j}2.26$$
设闭环根为$s$，根据根轨迹的幅值条件：
$$K=4.4=|s-p_1|\cdot |s-p_2|\cdot |s-p_3|$$
解得：
$$s_1=-0.857，s_2=-0.622+\mathrm{j}2.18，s_3=-0.622-\mathrm{j}2.18$$

Example 4.25

设系统的特征方程为：$s^3+a{s}^2+Ks+K=0$，$K$从$0\to +\infty$，当$a$取不同值时，系统的根轨迹不同.分别确定使根轨迹具有一个、两个和没有实数分离点的$a$值范围，并做出根轨迹图.

解：

由题可得：
$$D(s)=s^3+a{s}^2+Ks+K=0$$
则系统的开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K(s+1)}{s^2(s+a)}$$

1. 根轨迹的分支、起点和终点：由于$n=3，m=1，n-m=2$，故根轨迹有三条分支，其起点分别为：$p_1=0，p_2=0，p_3=-a$，其终点分别为：$z_1=-1$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹：$[-a，-1]$；

3. 根轨迹的渐近线
   $${\sigma }_a=\frac{-a+1}{3-1}=\frac{1-a}{2}，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{2}$$

4. 根轨迹分离点：根轨迹分离点坐标满足
   $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d}+\frac{1}{d+a}=\frac{1}{d+1}$$
   即
   $$2d^2+(a+3)d+2a=0$$
   解得：
   $$d_{1,2}=\frac{-(a+3)\pm \sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}$$
   要使根轨迹具有实数分离点，有：
   $$(a-1)(a-9)\ge 0\Rightarrow a\ge 9或a\le 1$$
   且
   $$d_{1,2}=\frac{-(a+3)\pm \sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}\in [-a,-1]$$
   分情况讨论：

   1. 当$a>9$时，计算可得：
      $$\begin{array}{rl}& d_1=\frac{-(a+3)+\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}<-1\\ & \\ & d_2=\frac{-(a+3)-\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}>-a\end{array}$$
      即$a>9$时，系统根轨迹具有两个分离点.

   2. 当$a=9$时，计算可得：
      $$d=-3$$
      即$a=9$时，系统根轨迹具有一个分离点.

   3. 当$1<a<9$时，系统根轨迹没有实数分离点.

   4. 当$a=1$时，系统根轨迹没有实数分离点.

   5. 当$0\le a<1$时，计算可得：
      $$d_{1,2}=\frac{-(a+3)\pm \sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}\notin [-1,-a]$$
      此时系统根轨迹没有实数分离点.

   6. 当$a<0$时，计算可得：
      $$\begin{array}{rl}& d_1=\frac{-(a+3)+\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}<-1\in [-1,-a]\\ & \\ & d_2=\frac{-(a+3)-\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}>-a\notin [-1,-a]\end{array}$$
      此时系统根轨迹有一个实数分离点.

5. 综上情况

   当$a>9$时，系统根轨迹具有两个实数分离点；当$a=9$和$a<0$时，系统根轨迹具有一个实数分离点；当$0\le a<9$时，系统根轨迹没有实数分离点；

6. 根轨迹图
   

Example 4.26

某单位反馈系统的开环传递函数为：$G(s)=\frac{K(s+a)}{s^2(s+1)}$，$K$从$0\to +\infty$，当$a$取不同值时，系统的根轨迹不同.分别确定使根轨迹具有一个、两个和没有实数分离点的$a$值范围，并做根轨迹图.

解：

系统开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K(s+a)}{s^2(s+1)}$$

1. 根轨迹的分支、起点和终点：由于$n=3，m=1，n-m=2$，故根轨迹有三条分支，其起点分别为：$p_1=0，p_2=0，p_3=-1$，其终点分别为：$z_1=-a$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹：$[-a，-1]$.

3. 根轨迹渐近线
   $${\sigma }_a=\frac{a-1}{2}，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{2}$$

4. 根轨迹的分离点：根轨迹分离点坐标满足
   $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}=\frac{1}{d+a}$$
   即
   $$2d^2+(3a+1)d+2a=0$$
   解得：
   $$d_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm \sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}$$
   要使根轨迹具有实数分离点，有：
   $$(a-1)(9a-1)\ge 0\Rightarrow a\ge 1或a\le 1/9$$
   且有：
   $$d_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm \sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\in [-a，-1]$$
   分情况讨论：

   1. 当$a>1$时，经计算可得：
      $$d_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm \sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\notin [-a，-1]$$
      即$a>1$时，系统根轨迹没有实数分离点.

   2. 当$a=1$时，系统根轨迹没有实数分离点.

   3. 当$1/9<a<1$时，系统根轨迹没有实数分离点.

   4. 当$a=1/9$时，经计算可得：
      $$d=-\frac{1}{3}$$
      即$a=1/9$时，系统根轨迹具有一个分离点.

   5. 当$0<a<1/9$时，经计算可得：
      $$d_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm \sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\in [-a，-1]$$
      此时系统根轨迹有两个实数分离点.

   6. 当$a\le 0$时，经计算可得：
      $$\begin{array}{rl}& d_1=\frac{-(3a+1)+\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\notin [-1，-a]\\ & \\ & d_2=\frac{-(3a+1)-\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\in [-1，-a]\end{array}$$
      此时系统根轨迹具有一个实数分离点.

5. 综上

   当$0<a<1/9$时，系统根轨迹具有两个实数分离点；当$a=1/9$和$a\le 0$时，系统根轨迹具有一个实数分离点；当$a>1/9$时，系统根轨迹没有实数分离点.

6. 概略根轨迹
   

Example 4.27

设系统如下图所示，概略绘制$K$从$-\infty \to +\infty$时系统的根轨迹.

解：

由图可得，系统开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K(s+1)}{s^2(s+2)+K^2(s+1)}$$
则系统的特征方程为：
$$D(s)=s^2(s+2)+K^2(s+1)+K(s+1)=0$$
等效开环传递函数：
$$G_1(s)=\frac{K^{\ast }(s+1)}{s^2(s+2)}$$
其中：$K^{\ast }=K+K^2$.

当$K$从$0\to +\infty$或$-\infty \to -1$时，$K^{\ast }$从$0\to +\infty$；

当$K$从$0\to -1/2$或$-1\to -1/2$时，$K^{\ast }$从$0\to -1/4$；

故要概略绘制$K$从$-\infty \to +\infty$时系统的根轨迹图，即概略绘制$K^{\ast }$从$-1/4\to +\infty$时等效系统的根轨迹图.

【$K^{\ast }$从$0\to +\infty$】

1. 根轨迹分支、起点和终点：由于$n=3，m=1，n-m=2$，故根轨迹有三条分支，其起点分别为：$p_1=0，p_2=0，p_3=-2$，其终点分别为：$z_1=-1$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹：$[-2，-1]$；

3. 根轨迹的渐近线
   $${\sigma }_a=\frac{-2+1}{2}=-0.5，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{2}$$

【$K^{\ast }$从$-1/4\to 0$】

先考虑$K^{\ast }$从$-\infty \to 0$时等效系统概略零度根轨迹，然后通过计算，可得$K^{\ast }$从$-1/4\to 0$时等效系统概略零度根轨迹.

1. 根轨迹的分支、起点和终点：由于$n=3，m=1，n-m=2$，故根轨迹有三条分支，其起点分别为：$p_1=0，p_2=0，p_3=-2$，其终点分别为：$z_1=-1$和无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹：$[-2，-\infty )，[0，-1]，[0，+\infty )$；

   当$K^{\ast }=-1/4$时，根据模值条件：
   $$|K^{\ast }|=\frac{|s-p_1||s-p_2||s-p_3|}{|s-z_1|}$$
   即
   $$\frac{1}{4}=\frac{|s^2||s+2|}{|s+1|}\Rightarrow s_1=-2.02，s_2=-0.168，s_3=0.184$$

【$K^{\ast }$从$1-/4\to +\infty$系统概略根轨迹】

Example 4.28

设控制系统如下图所示，分析$T>\tau >0$或$0<T<\tau$对系统根轨迹的影响，并绘制相应的根轨迹；

解：

由结构图可知，系统开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{K^{\ast }(s+1/\tau )}{s(s+1/T)(s-\mathrm{j}4)(s+\mathrm{j}4)}$$
其中：$K^{\ast }=K\tau /T$.

1. 根轨迹的分支、起点和终点：由于$n=4，m=1，n-m=3$，故根轨迹有四条分支，其起点分别为：$p_1=0，p_2=-1，p_3=4\mathrm{j}，p_4=-4\mathrm{j}$，其终点分别为：$z_1=1/\tau$和无穷远处.

2. 根轨迹的渐近线
   $${\sigma }_a=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{T}+\frac{1}{\tau }\right)，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{3}，\pi$$

3. 实轴上的根轨迹：

   • $T>\tau >0$，即$\frac{1}{\tau }>\frac{1}{T}>0$时，实轴上的根轨迹为：$(-\infty ，-\frac{1}{\tau }]，\left[0，-\frac{1}{T}\right]$；
   • $\tau >T>0$，即$\frac{1}{T}>\frac{1}{\tau }>0$时，实轴上的根轨迹为：$[-\frac{1}{T}，-\infty )，\left[0，-\frac{1}{\tau }\right]$；

4. 根轨迹
   

5. 结论

   当$T>\tau >0$时，系统可能具有负实部闭环复极点；

   当$\tau >T>0$时，系统没有负实部闭环复极点；

Example 4.29

已知系统开环传递函数为：$G(s)H(s)=\frac{K^{\ast }}{s(s+1)(s+10)}$，若已知主导极点的实部为：$-0.2$，确定对应的$K^{\ast }$值.

解：

系统的开环极点为：
$$p_1=0，p_2=-1，p_3=-10$$
设主导极点为：$s=-0.2+\mathrm{j}\omega$，则$s$到开环极点的角度由下计算：
$${\theta }_{s{p}_1}=180°-\arctan (\omega /0.2)，{\theta }_{s{p}_2}=\arctan (\omega /0.8)，{\theta }_{s{p}_3}=\arctan (\omega /9.8)$$
由闭环根轨迹的相角条件可得：
$$\arctan (\omega /0.2)=\arctan (\omega /0.8)+\arctan (\omega /9.8)$$
因
$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }$$
解得：
$$\omega =\pm 2.4$$
对应的$K^{\ast }$由根轨迹的幅值条件可得：
$$K^{\ast }=61.52$$
【根轨迹】

Example 4.30

设系统开环传递函数为：$G(s)H(s)=\frac{K^{\ast }}{s(s+25)(s^2+1000s+2600)}$，由根轨迹法确定$\zeta =0.5$时的闭环主导极点和对应的$K^{\ast }$值.

解：

系统开环传递函数为：
$$G(s)H(s)=\frac{K^{\ast }}{s(s+25)(s^2+1000s+2600)}=\frac{K^{\ast }}{s(s+25)(s+2.61)(s+997.39)}$$

1. 根轨迹的分支、起点和终点：由于$n=4，m=0，n-m=4$，故根轨迹有四条分支，其起点分别为：$p_1=0，p_2=-2.61，p_3=-25，p_4=-997.39$，其终点为无穷远处.

2. 实轴上的根轨迹：$[-2.61，0]，[-25，-997.39]$；

3. 根轨迹的渐近线
   $${\sigma }_a=\frac{-2.61-25-997.39}{4}=-256.25，{\phi }_a=\pm \frac{\pi }{4}，\pm \frac{3\pi }{4}$$

4. 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点满足
   $$\frac{1}{d}+\frac{1}{d+2.61}+\frac{1}{d+25}+\frac{1}{d+997.39}=0$$
   解得：
   $$d_1=-750，d_2=-1.27$$
   由于闭环主导极点的阻尼比为：$\zeta =0.5$，则可设闭环主导极点为：$s=-\sigma +\mathrm{j}(1.732\sigma )$.

   由闭环根轨迹的相角条件可得：
   $${\theta }_{s{p}_1}+{\theta }_{s{p}_2}+{\theta }_{s{p}_3}+{\theta }_{s{p}_4}=180°$$
   又
   $${\theta }_{s{p}_1}=120°，{\theta }_{s{p}_2}=\arctan [(2.61-\sigma )/1.732\sigma ]，{\theta }_{s{p}_3}=\arctan [(25-\sigma )/1.732\sigma ]，{\theta }_{s{p}_4}\approx 0$$
   解得：
   $$\sigma =1.13$$
   即闭环主导极点为：
   $$s=-1.13+\mathrm{j}1.96$$
   对应的$K^{\ast }$值由根轨迹的幅值条件求解：
   $$K^{\ast }=|s-p_1|\cdot |s-p_2|\cdot |s-p_3|\cdot |s-p_4|=1.33\times 10^5$$

5. 概略根轨迹