参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.根轨迹基础

• 根轨迹简称根迹，是开环系统从某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在$s$平面上变化的轨迹；

• 实际系统说明：

  设控制系统如下图所示，其闭环传递函数为：
  $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{2K}{s^2+2s+2K}$$
  

  由控制系统结构图可得，特征方程为：
  $$s^2+2s+2K=0$$
  特征方程的根为：
  $$s_1=-1+\sqrt{1-2K}，s_2=-1-\sqrt{1-2K}$$
  令开环增益$K$从零变化到无穷，其根轨迹如下：

  

• 根轨迹与系统性能(以上实例作为说明)

  • 稳定性

    当开环增益从零变到无穷时，其根轨迹不会越过虚轴进入右半$s$平面，该系统对于所有的$K$值都是稳定的；分析高阶系统的根轨迹图时，根轨迹可能越过虚轴进入$s$右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的$K$值，即临界开环增益；

  • 稳态性能

    该系统开环系统在坐标原点只有一个极点，属于Ⅰ型系统，根轨迹上的$K$值就是静态速度误差系数；如果给定系统的稳态误差要求，由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围；一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓的根轨迹增益，需要进行换算；

  • 动态性能

    由图可知，当$0<K<0.5$时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当$K=0.5$时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较过阻尼情况快；当$K>0.5$时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随$K$增大而增大，但调节时间变化不会显著；

2.闭环零、极点与开环零、极点的关系

设控制系统如下图所示，

由控制系统结构图可得，系统闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$
前向通路传递函数$G(s)$和反馈通路传递函数$H(s)$表示如下：
$$G(s)=\frac{K_G({\tau }_{1}s+1)({\tau }_2^2{s}^2+2{\zeta }_1{\tau }_{2}s+1)\dots }{s^{\nu }(T_{1}s+1)(T_2^2{s}^2+2{\zeta }_2{T}_{2}s+1)\dots }=K_G^{\ast }\frac{\prod _{i=1}^f(s-z_i)}{\prod _{i=1}^q(s-p_i)}$$
其中：$K_G$称为前向通路增益；$K_G^{\ast }$称为前向通路根轨迹增益；满足如下关系：
$$K_G^{\ast }=K_G\frac{{\tau }_1{\tau }_2^2\dots }{T_1{T}_2^2\dots }，H(s)=K_H^{\ast }\frac{\prod _{j=1}^l(s-z_j)}{\prod _{j=1}^h(s-p_j)}$$

其中：$K_H^{\ast }$称为反馈通路根轨迹增益；

控制系统的开环传递函数表示为：
$$G(s)H(s)=K^{\ast }\frac{\prod _{i=1}^f(s-z_i)\prod _{j=1}^l(s-z_j)}{\prod _{i=1}^q(s-p_i)\prod _{j=1}^h(s-p_j)}$$
其中：$K^{\ast }=K_G^{\ast }{K}_H^{\ast }$称为开环系统根轨迹增益；

对于有$m$个开环零点和$n$个开环极点的系统，有$f+l=m$和$q+h=n$；

闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{K_G^{\ast }\prod _{i=1}^f(s-z_i)\prod _{j=1}^h(s-p_j)}{\prod _{i=1}^n(s-p_i)+K^{\ast }\prod _{j=1}^m(s-z_j)}$$
结论：

• 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹增益；
• 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点；
• 闭环极点与开环零点、开环极点及根轨迹增益$K^{\ast }$均有关；
• 根轨迹法基本任务：由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点；

3.根轨迹方程

根轨迹是系统所有闭环极点的集合；

控制系统闭环特征方程为：
$$1+G(s)H(s)=0$$
当系统有$m$个开环零点和$n$个开环极点时，上式等价于：
$$K^{\ast }\frac{\prod _{j=1}^m(s-z_j)}{\prod _{i=1}^n(s-p_i)}=-1$$
上式称为根轨迹方程；

• $z_j$为已知的开环零点；
• $p_i$为已知的开环极点；
• $K^{\ast }$从零变到无穷大；

根轨迹方程用如下两个方程表示：
$$\begin{array}{r}\sum _{j=1}^m\angle (s-z_j)-\sum _{i=1}^n\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi ，k=0，\pm 1，\pm 2，\dots ；K^{\ast }=\frac{\prod _{i=1}^n|s-p_i|}{\prod _{j=1}^m|s-z_j|}\end{array}$$

左式称为相角条件；右式称为模值条件；相角条件是确定$s$平面上根轨迹的充要条件；绘制根轨迹时，只需要使用到相角条件；当需要确定根轨迹上各点的$K^{\ast }$值时，才使用模值条件；