此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础
第四章：根轨迹法
Example 4.11
已知系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ( 0.25 s + 1 ) s ( 0.5 s + 1 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K(0.25s+1)}{s(0.5s+1)} G(s)H(s)=s(0.5s+1)K(0.25s+1)，确定系统无超调情况下 K K K的值.
解：
系统开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ( 0.25 s + 1 ) s ( 0.5 s + 1 ) = 0.5 K ( s + 4 ) s ( s + 2 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K(0.25s+1)}{s(0.5s+1)}=\frac{0.5K(s+4)}{s(s+2)} G(s)H(s)=s(0.5s+1)K(0.25s+1)=s(s+2)0.5K(s+4)
令 K ∗ = 0.5 K K^*=0.5K K∗=0.5K， K ∗ K^* K∗为根轨迹增益.
由系统的开环传递函数可知，该系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = s ( s + 2 ) + K ∗ ( s + 4 ) = s 2 + ( K ∗ + 2 ) s + 4 K ∗ = 0 D(s)=s(s+2)+K^*(s+4)=s^2+(K^*+2)s+4K^*=0 D(s)=s(s+2)+K∗(s+4)=s2+(K∗+2)s+4K∗=0
解得：
s 1 , 2 = − 1 2 ( K ∗ + 2 ) ± 1 2 ( K ∗ + 2 ) 2 − 16 K ∗ s_{1,2}=-\frac{1}{2}(K^*+2)±\frac{1}{2}\sqrt{(K^*+2)^2-16K^*} s1,2=−21(K∗+2)±21(K∗+2)2−16K∗
要使系统无超调，则有：
( K ∗ + 2 ) 2 − 16 K ∗ ≥ 0 ⇒ K ∗ ≥ 11.66 或 K ∗ ≤ 0.34 (K^*+2)^2-16K^*≥0\Rightarrow{K^*≥11.66}或K^*≤0.34 (K∗+2)2−16K∗≥0⇒K∗≥11.66或K∗≤0.34
故在系统无超调情况下： K ≥ 23.32 K≥23.32 K≥23.32或 K ≤ 0.68 K≤0.68 K≤0.68。
【系统根轨迹图】
Example 4.12
单位反馈控制系统的开环传递函数为： G ( s ) = K ( 1 − s ) s ( s + 2 ) G(s)=\displaystyle\frac{K(1-s)}{s(s+2)} G(s)=s(s+2)K(1−s)， K K K的变化范围为： 0 → ∞ 0\to\infty 0→∞，绘制系统根轨迹。
解：
系统开环根轨迹增益 K ∗ = − K K^*=-K K∗=−K， K ∗ K^* K∗变化范围为： 0 → − ∞ 0\to-\infty 0→−∞，因此应绘制零度根轨迹.
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系统开环零点： z 1 = 1 z_1=1 z1=1；系统开环极点： p 1 = 0 ， p 2 = − 2 p_1=0，p_2=-2 p1=0，p2=−2；
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实轴上的根轨迹为： [ − 2 , 0 ] ， [ 1 ， + ∞ ] [-2,0]，[1，+\infty] [−2,0]，[1，+∞]；
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根轨迹只有 1 1 1条渐近线， φ a = 0 ° \varphi_a=0° φa=0°；
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确定根轨迹分离点：分离点满足
d d s G ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s ) − K ∗ ( s − 1 ) ( 2 s + 2 ) s 2 ( s + 2 ) 2 = 0 \frac{{\rm d}}{{\rm d}s}G(s)=\frac{K^*(s^2+2s)-K^*(s-1)(2s+2)}{s^2(s+2)^2}=0 dsdG(s)=s2(s+2)2K∗(s2+2s)−K∗(s−1)(2s+2)=0
解得：
d 1 = 2.732 ， d 2 = − 0.732 d_1=2.732，d_2=-0.732 d1=2.732，d2=−0.732 -
确定根轨迹与虚轴的交点
系统闭环特征方程为：
D ( s ) = s 2 + 2 s + K ∗ s − K ∗ = 0 D(s)=s^2+2s+K^*s-K^*=0 D(s)=s2+2s+K∗s−K∗=0
令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，代入特征方程可得： K ∗ = − 2 K^*=-2 K∗=−2；闭环特征方程的根为： s 1 , 2 = ± j 2 s_{1,2}=±{\rm j}\sqrt{2} s1,2=±j2.
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系统根轨迹
Example 4.13
已知反馈控制系统的开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s + 2 ) ( s 2 + 2 s + 5 ) ， K ∗ > 0 G(s)H(s)=\frac{K^*}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)}，K^*>0 G(s)H(s)=(s2+2s+2)(s2+2s+5)K∗，K∗>0
但反馈极性未知，要保证闭环系统稳定，确定根轨迹增益 K ∗ K^* K∗的范围.
解：
若反馈极性为负时，使系统闭环稳定的 K ∗ K^* K∗范围为: ( a , b ) (a,b) (a,b);反馈极性为正时，使系统闭环稳定的 K ∗ K^* K∗范围为： ( c , d ) (c,d) (c,d),则选择 K ∗ ∈ ( e , f ) K^*\in(e,f) K∗∈(e,f)，其中 ( e , f ) (e,f) (e,f)为 ( a , b ) 、 ( c , d ) (a,b)、(c,d) (a,b)、(c,d)的公共区间，即交集，即可保证系统闭环稳定；
【反馈极性为负：常规根轨迹】
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系统开环极点： p 1 , 2 = − 1 ± j 2 ， p 3 , 4 = − 1 ± j p_{1,2}=-1±{\rm j}2，p_{3,4}=-1±{\rm j} p1,2=−1±j2，p3,4=−1±j；
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实轴上无根轨迹；
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根轨迹渐近线：
σ a = − 1 ， φ a = 45 ° ， 135 ° ， 225 ° ， 315 ° \sigma_a=-1，\varphi_a=45°，135°，225°，315° σa=−1，φa=45°，135°，225°，315° -
根轨迹起始角
p 1 , 2 = − 1 ± j 2 ， θ p 1 = 270 ° ， θ p 2 = − 270 ° p 3 , 4 = − 1 ± j ， θ p 3 = 90 ° ， θ p 4 = − 90 ° \begin{aligned} &p_{1,2}=-1±{\rm j}2，\theta_{p_1}=270°，\theta_{p_2}=-270°\\ &p_{3,4}=-1±{\rm j}，\theta_{p_3}=90°，\theta_{p_4}=-90° \end{aligned} p1,2=−1±j2，θp1=270°，θp2=−270°p3,4=−1±j，θp3=90°，θp4=−90° -
根轨迹分离点
[ 2 ( s + 1 ) s 2 + 2 s + 2 + 2 ( s + 1 ) s 2 + 2 s + 5 ] ∣ s = d = 0 \left.\left[\frac{2(s+1)}{s^2+2s+2}+\frac{2(s+1)}{s^2+2s+5}\right]\right|_{s=d}=0 [s2+2s+22(s+1)+s2+2s+52(s+1)]∣ ∣s=d=0
解得：
d 1 = − 1 ， d 2 , 3 = − 1 ± j 1.581 d_1=-1，d_{2,3}=-1±{\rm j}1.581 d1=−1，d2,3=−1±j1.581 -
与虚轴交点
系统闭环特征方程为：
D ( s ) = ( s 2 + 2 s + 2 ) ( s 2 + 2 s + 5 ) + K ∗ = s 4 + 4 s 3 + 11 s 2 + 14 s + K ∗ + 10 = 0 D(s)=(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)+K^*=s^4+4s^3+11s^2+14s+K^*+10=0 D(s)=(s2+2s+2)(s2+2s+5)+K∗=s4+4s3+11s2+14s+K∗+10=0
劳斯表为：s 4 s^4 s4 1 1 1 11 11 11 10 + K ∗ 10+K^* 10+K∗ s 3 s^3 s3 4 4 4 14 14 14 s 2 s^2 s2 7.5 7.5 7.5 10 + K ∗ 10+K^* 10+K∗ s 1 s^1 s1 65 − 4 K ∗ 7.5 \displaystyle\frac{65-4K^*}{7.5} 7.565−4K∗ s 0 s^0 s0 10 + K ∗ 10+K^* 10+K∗ 当 K ∗ = 16.25 K^*=16.25 K∗=16.25时，劳斯表中 s 1 s^1 s1行的元素全为零.由辅助方程： A ( s ) = 7.5 s 2 + 10 + 65 4 = 0 A(s)=7.5s^2+10+\displaystyle\frac{65}{4}=0 A(s)=7.5s2+10+465=0，解得根轨迹与虚轴的交点： s 1 , 2 = ± j 1.871 s_{1,2}=±{\rm j}1.871 s1,2=±j1.871.
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概略根轨迹图(下图a)
【反馈极性为正：零度根轨迹】
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实轴上根轨迹为： ( − ∞ ， + ∞ ) (-\infty，+\infty) (−∞，+∞)；
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根轨迹有四条渐近线
σ a = − 1 ， φ a = 0 ° ， 90 ° ， 180 ° ， 270 ° \sigma_a=-1，\varphi_a=0°，90°，180°，270° σa=−1，φa=0°，90°，180°，270° -
根轨迹的起始角
θ p 1 = 90 ° ， θ p 2 = − 90 ° ， θ p 3 = 270 ° ， θ p 4 = − 270 ° \theta_{p_1}=90°，\theta_{p_2}=-90°，\theta_{p_3}=270°，\theta_{p_4}=-270° θp1=90°，θp2=−90°，θp3=270°，θp4=−270° -
根轨迹分离点： d = − 1 d=-1 d=−1；
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根轨迹与虚轴交点
系统闭环特征方程为：
D ( s ) = s 4 + 4 s 3 + 11 s 2 + 14 s + 10 − K ∗ = 0 D(s)=s^4+4s^3+11s^2+14s+10-K^*=0 D(s)=s4+4s3+11s2+14s+10−K∗=0
由劳斯判据可知， K ∗ = 10 K^*=10 K∗=10时，系统闭环临界稳定，根轨迹与虚轴交点为： s = 0 s=0 s=0. -
概略根轨迹图(下图b)
【根轨迹图】
由图可知，反馈极性为负时，使系统闭环稳定的 K ∗ K^* K∗范围为： [ 0 ， 16.25 ) [0，16.25) [0，16.25)；反馈极性为正时，使系统闭环稳定的 K ∗ K^* K∗范围为： [ 0 ， 10 ) [0，10) [0，10).故反馈极性未知时，使系统闭环稳定的 K ∗ K^* K∗范围为： [ 0 ， 10 ) [0，10) [0，10).
Example 4.14
设单位反馈控制系统开环传递函数为： G ( s ) = K s ( 0.2 s + 1 ) ( 0.5 s + 1 ) G(s)=\displaystyle\frac{K}{s(0.2s+1)(0.5s+1)} G(s)=s(0.2s+1)(0.5s+1)K， K ∗ K^* K∗从 0 → − ∞ 0\to-\infty 0→−∞时，绘制概略闭环根轨迹图.
解：
系统开环传递函数为：
G ( s ) = K s ( 0.2 s + 1 ) ( 0.5 s + 1 ) = 10 K s ( s + 5 ) ( s + 2 ) G(s)=\displaystyle\frac{K}{s(0.2s+1)(0.5s+1)}=\frac{10K}{s(s+5)(s+2)} G(s)=s(0.2s+1)(0.5s+1)K=s(s+5)(s+2)10K
令 K ∗ = 10 K K^*=10K K∗=10K，即 K ∗ K^* K∗为根轨迹增益.
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实轴上的根轨迹为： [ − 5 ， − 2 ] ， [ 0 ， + ∞ ) [-5，-2]，[0，+\infty) [−5，−2]，[0，+∞)；
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根轨迹渐近线
σ a = 0 − 2 − 5 3 = − 7 3 ， φ a = ± 2 π 3 ， 0 \sigma_a=\frac{0-2-5}{3}=-\frac{7}{3}，\varphi_a=±\frac{2\pi}{3}，0 σa=30−2−5=−37，φa=±32π，0 -
根轨迹分离点：根轨迹分离点满足
1 d + 1 d + 2 + 1 d + 5 = 0 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+5}=0 d1+d+21+d+51=0
解得：
d 1 = − 0.88 ( 舍去 ) ， d 2 = − 3.79 d_1=-0.88(舍去)，d_2=-3.79 d1=−0.88(舍去)，d2=−3.79
即分离点坐标为： d = − 3.79 d=-3.79 d=−3.79。 -
系统概略根轨迹
Example 4.15
已知单位反馈控制系统开环传递函数为： G ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) s 2 + 2 s + 4 G(s)=\displaystyle\frac{K^*(s+2)}{s^2+2s+4} G(s)=s2+2s+4K∗(s+2)，反馈极性为正，绘制概略闭环根轨迹图.
解：
系统开环传递函数为：
G ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) s 2 + 2 s + 4 = K ∗ ( s + 2 ) ( s + 1 + j 3 ) ( s + 1 − j 3 ) G(s)=\displaystyle\frac{K^*(s+2)}{s^2+2s+4}=\frac{K^*(s+2)}{(s+1+{\rm j}\sqrt{3})(s+1-{\rm j}\sqrt{3})} G(s)=s2+2s+4K∗(s+2)=(s+1+j3)(s+1−j3)K∗(s+2)
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实轴上的根轨迹： [ − 2 ， + ∞ ) [-2，+\infty) [−2，+∞)；
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根轨迹的分离点：根轨迹分离点坐标满足
1 d + 1 + j 3 + 1 d + 1 − j 3 = 1 d + 2 \frac{1}{d+1+{\rm j}\sqrt{3}}+\frac{1}{d+1-{\rm j}\sqrt{3}}=\frac{1}{d+2} d+1+j31+d+1−j31=d+21
即
d 2 + 4 d = 0 ⇒ d 1 = − 4 ( 舍去 ) ， d 2 = 0 d^2+4d=0\Rightarrow{d_1=-4(舍去)}，d_2=0 d2+4d=0⇒d1=−4(舍去)，d2=0
故分离点坐标为： d = 0 d=0 d=0. -
根轨迹起始角
θ p 1 = φ z 1 p 1 − θ p 2 p 1 = − 60 ° + 90 ° = 30 ° θ p 2 = − 30 ° \begin{aligned} &\theta_{p_1}=\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}=-60°+90°=30°\\ &\theta_{p_2}=-30° \end{aligned} θp1=φz1p1−θp2p1=−60°+90°=30°θp2=−30° -
概略根轨迹图
Example 4.16
设单位反馈系统的开环传递函数为： G ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) ( s + 6 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) G(s)=\displaystyle\frac{K^*(s+2)}{(s+6)(s^2+2s+2)} G(s)=(s+6)(s2+2s+2)K∗(s+2)，绘制 K ∗ K^* K∗从 − ∞ → + ∞ -\infty\to+\infty −∞→+∞时系统的闭环根轨迹图，并确定系统无超调时 K ∗ K^* K∗的范围.
解：
系统开环传递函数为：
G ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) ( s + 6 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) = K ∗ ( s + 2 ) ( s + 6 ) ( s + 1 − j ) ( s + 1 + j ) G(s)=\displaystyle\frac{K^*(s+2)}{(s+6)(s^2+2s+2)}=\frac{K^*(s+2)}{(s+6)(s+1-{\rm j})(s+1+{\rm j})} G(s)=(s+6)(s2+2s+2)K∗(s+2)=(s+6)(s+1−j)(s+1+j)K∗(s+2)
【 K ∗ K^* K∗从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时系统的闭环根轨迹】
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实轴上的根轨迹： [ − 6 , − 2 ] [-6,-2] [−6,−2]；
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根轨迹渐近线
σ a = − 1 + j − 1 − j − 6 + 2 3 − 1 = − 3 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-1+{\rm j}-1-{\rm j}-6+2}{3-1}=-3，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=3−1−1+j−1−j−6+2=−3，φa=±2π -
根轨迹起始角
θ p 1 = 180 ° + φ z 1 p 1 − θ p 2 p 1 − θ p 3 p 1 = 180 ° + 45 ° − 90 ° − arctan ( 1 / 5 ) = 123.69 ° θ p 2 = − 123.69 ° \begin{aligned} &\theta_{p_1}=180°+\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}-\theta_{p_3p_1}=180°+45°-90°-\arctan(1/5)=123.69°\\\\ &\theta_{p_2}=-123.69° \end{aligned} θp1=180°+φz1p1−θp2p1−θp3p1=180°+45°−90°−arctan(1/5)=123.69°θp2=−123.69° -
根轨迹如下图a所示
【 K ∗ K^* K∗从 − ∞ → 0 -\infty\to0 −∞→0时系统的闭环根轨迹】
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实轴上的根轨迹： [ − 6 ， − ∞ ) ， [ − 2 ， + ∞ ) [-6，-\infty)，[-2，+\infty) [−6，−∞)，[−2，+∞)；
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根轨迹分离点：根轨迹分离点满足
1 d + 6 + 1 d + 1 − j + 1 d + 1 + j = 1 d + 2 \frac{1}{d+6}+\frac{1}{d+1-{\rm j}}+\frac{1}{d+1+{\rm j}}=\frac{1}{d+2} d+61+d+1−j1+d+1+j1=d+21
解得： d = − 0.685 d=-0.685 d=−0.685。 -
根轨迹起始角
θ p 1 = φ z 1 p 1 − θ p 2 p 1 − θ p 3 p 1 = 45 ° − 90 ° − arctan ( 1 / 5 ) = − 56.31 ° θ p 2 = 56.31 ° \begin{aligned} &\theta_{p_1}=\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}-\theta_{p_3p_1}=45°-90°-\arctan(1/5)=-56.31°\\\\ &\theta_{p_2}=56.31° \end{aligned} θp1=φz1p1−θp2p1−θp3p1=45°−90°−arctan(1/5)=−56.31°θp2=56.31° -
根轨迹如下图b所示
【根轨迹图】
【确定系统无超调时 K ∗ K^* K∗的范围】
要使系统无超调，闭环极点须位于实轴上.
由系统的开环传递函数可知，该系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = ( s + 6 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) + K ∗ ( s + 2 ) = s 3 + 8 s 2 + 14 s + 12 + K ∗ ( s + 2 ) = 0 \begin{aligned} D(s)&=(s+6)(s^2+2s+2)+K^*(s+2)=s^3+8s^2+14s+12+K^*(s+2)=0 \end{aligned} D(s)=(s+6)(s2+2s+2)+K∗(s+2)=s3+8s2+14s+12+K∗(s+2)=0
代入分离点： d = − 0.685 d=-0.685 d=−0.685，可得： K ∗ = − 4.443 K^*=-4.443 K∗=−4.443，故当 K ∗ ≤ − 4.443 K^*≤-4.443 K∗≤−4.443时，系统无超调.
Example 4.17
已知系统闭环根轨迹和反馈通路的零极点分布如下图所示，确定反馈通路根轨迹增益 K H ∗ = 5 K_H^*=5 KH∗=5时，闭环存在重极点情况下的闭环传递函数.
解：
由根轨迹图可知该系统为负反馈，且开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K G ∗ K H ∗ ( s + 3 ) s ( s + 5 ) ( s + 6 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) G(s)H(s)=\frac{K_G^*K_H^*(s+3)}{s(s+5)(s+6)(s^2+2s+2)} G(s)H(s)=s(s+5)(s+6)(s2+2s+2)KG∗KH∗(s+3)
则系统的开环零、极点为：
p 1 = 0 , p 2 = − 5 , p 3 = − 6 , p 4 = − 1 + j , p 5 = − 1 − j , z 1 = − 3 p_1=0,p_2=-5,p_3=-6,p_4=-1+{\rm j},p_5=-1-{\rm j},z_1=-3 p1=0,p2=−5,p3=−6,p4=−1+j,p5=−1−j,z1=−3
由零极点分布图可知，系统的反馈通路传递函数为：
H ( s ) = K H ∗ ( s + 3 ) s 2 + 2 s + 2 H(s)=\frac{K_H^*(s+3)}{s^2+2s+2} H(s)=s2+2s+2KH∗(s+3)
系统闭环根轨迹图可知，根轨迹分离点为： d = − 5.526 d=-5.526 d=−5.526；
根据根轨迹的幅值条件可知：在分离点处的根轨迹增益为
K G ∗ K H ∗ = ∣ d − p 1 ∣ ⋅ ∣ d − p 2 ∣ ⋅ ∣ d − p 3 ∣ ⋅ ∣ d − p 4 ∣ ⋅ ∣ d − p 5 ∣ ∣ d − z 1 ∣ = 11.72 K_G^*K_H^*=\frac{|d-p_1|·|d-p_2|·|d-p_3|·|d-p_4|·|d-p_5|}{|d-z_1|}=11.72 KG∗KH∗=∣d−z1∣∣d−p1∣⋅∣d−p2∣⋅∣d−p3∣⋅∣d−p4∣⋅∣d−p5∣=11.72
因为反馈通路根轨迹增益为： K H ∗ = 5 K_H^*=5 KH∗=5，则：
K G ∗ = 11.72 / K H ∗ = 2.344 K_G^*=11.72/K_H^*=2.344 KG∗=11.72/KH∗=2.344
闭环存在重极点情况下的闭环传递函数为：
Φ ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) = K G ∗ s ( s + 5 ) ( s + 6 ) 1 + K G ∗ K H ∗ ( s + 3 ) s ( s + 5 ) ( s + 6 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) = 2.344 ( s 2 + 2 s + 2 ) s ( s + 5 ) ( s + 6 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) + 11.72 ( s + 3 ) \begin{aligned} \Phi(s)&=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{\displaystyle\frac{K_G^*}{s(s+5)(s+6)}}{1+\displaystyle\frac{K_G^*K_H^*(s+3)}{s(s+5)(s+6)(s^2+2s+2)}}\\\\ &=\frac{2.344(s^2+2s+2)}{s(s+5)(s+6)(s^2+2s+2)+11.72(s+3)} \end{aligned} Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s)=1+s(s+5)(s+6)(s2+2s+2)KG∗KH∗(s+3)s(s+5)(s+6)KG∗=s(s+5)(s+6)(s2+2s+2)+11.72(s+3)2.344(s2+2s+2)
Example 4.18
已知系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ( − s + 1 ) ( − s + 2 ) ( s + 4 ) ( − s + 3 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K(-s+1)}{(-s+2)(s+4)(-s+3)} G(s)H(s)=(−s+2)(s+4)(−s+3)K(−s+1)，概略绘制 K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时，系统的闭环根轨迹图.
解：
系统开环传递函数：
G ( s ) H ( s ) = K ( − s + 1 ) ( − s + 2 ) ( s + 4 ) ( − s + 3 ) = − K ( s − 1 ) ( s − 2 ) ( s − 3 ) ( s + 4 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K(-s+1)}{(-s+2)(s+4)(-s+3)}=\frac{-K(s-1)}{(s-2)(s-3)(s+4)} G(s)H(s)=(−s+2)(s+4)(−s+3)K(−s+1)=(s−2)(s−3)(s+4)−K(s−1)
要概略绘制 K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时系统的闭环根轨迹图，等价于概略绘制 K ∗ K^* K∗从 − ∞ → 0 -\infty\to0 −∞→0时以下系统的闭环根轨迹图，其中： K ∗ = − K K^*=-K K∗=−K：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s − 1 ) ( s − 2 ) ( s − 3 ) ( s + 4 ) G(s)H(s)=\frac{K^*(s-1)}{(s-2)(s-3)(s+4)} G(s)H(s)=(s−2)(s−3)(s+4)K∗(s−1)
-
根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 3 ， m = 1 ， n − m = 2 n=3，m=1，n-m=2 n=3，m=1，n−m=2，故根轨迹有三条分支，其起点分别为： p 1 = 2 ， p 2 = 3 ， p 3 = − 4 p_1=2，p_2=3，p_3=-4 p1=2，p2=3，p3=−4，其终点分别为： z 1 = 1 z_1=1 z1=1和无穷远处.
-
实轴上的根轨迹： [ − 4 ， − ∞ ) ， [ 1 ， 2 ] ， [ 3 ， + ∞ ) [-4，-\infty)，[1，2]，[3，+\infty) [−4，−∞)，[1，2]，[3，+∞)；
-
概略根轨迹如下：
Example 4.19
已知系统开环传递函数为
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s + 4 ) s ( s + 4 ) ( s + 6 ) ( s 2 + 1.4 s + 1 ) G(s)H(s)=\frac{K^*(s^2+2s+4)}{s(s+4)(s+6)(s^2+1.4s+1)} G(s)H(s)=s(s+4)(s+6)(s2+1.4s+1)K∗(s2+2s+4)
概略绘制系统的根轨迹图，由此确定系统稳定时 K ∗ K^* K∗的范围.
解：
系统开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s + 4 ) s ( s + 4 ) ( s + 6 ) ( s 2 + 1.4 s + 1 ) = K ∗ ( s + 1 ± j 1.732 ) s ( s + 4 ) ( s + 6 ) ( s + 0.7 ± j 0.714 ) G(s)H(s)=\frac{K^*(s^2+2s+4)}{s(s+4)(s+6)(s^2+1.4s+1)}=\frac{K^*(s+1±{\rm j}1.732)}{s(s+4)(s+6)(s+0.7±{\rm j}0.714)} G(s)H(s)=s(s+4)(s+6)(s2+1.4s+1)K∗(s2+2s+4)=s(s+4)(s+6)(s+0.7±j0.714)K∗(s+1±j1.732)
-
实轴上的根轨迹： [ − 6 ， − ∞ ) ， [ − 4 ， 0 ] [-6，-\infty)，[-4，0] [−6，−∞)，[−4，0]；
-
根轨迹的渐近线
σ a = 0 − 4 − 6 − 0.7 − 0.7 + 1 + 1 3 = − 9.4 3 = − 3.13 ， φ a = ± π 3 ， π \sigma_a=\frac{0-4-6-0.7-0.7+1+1}{3}=-\frac{9.4}{3}=-3.13，\varphi_a=±\frac{\pi}{3}，\pi σa=30−4−6−0.7−0.7+1+1=−39.4=−3.13，φa=±3π，π -
根轨迹的分离点坐标满足
1 d + p 1 + 1 d + p 2 + 1 d + p 3 + 1 d + p 4 + 1 d + p 5 = 1 d + z 1 + 1 d + z 2 \frac{1}{d+p_1}+\frac{1}{d+p_2}+\frac{1}{d+p_3}+\frac{1}{d+p_4}+\frac{1}{d+p_5}=\frac{1}{d+z_1}+\frac{1}{d+z_2} d+p11+d+p21+d+p31+d+p41+d+p51=d+z11+d+z21
通过试凑法可得： d = − 2.36 d=-2.36 d=−2.36； -
根轨迹的起始角和终止角
θ p 4 = 180 ° + φ z 1 p 4 + φ z 2 p 4 − θ p 1 p 4 − θ p 2 p 4 − θ p 3 p 4 − θ p 5 p 4 = 180 ° + [ − arctan ( 1.018 / 0.3 ) ] + arctan ( 2.446 / 0.3 ) − [ 90 ° + arctan ( 0.7 / 0.714 ) ] − arctan ( 0.714 / 3.3 ) − arctan ( 0.714 / 5.3 ) − 90 ° = − 73.58 ° + 83.01 ° − 44.43 ° − 12.21 ° − 7.67 ° = − 54.88 ° θ p 5 = 54.88 ° φ z 1 = − 180 ° + θ p 1 z 1 + θ p 2 z 1 + θ p 3 z 1 + θ p 4 z 1 + θ p 5 z 1 − φ z 2 z 1 = − 180 ° + [ 90 ° + arctan ( 1 / 1.732 ) ] + arctan ( 1.732 / 3 ) + arctan ( 1.732 / 3 ) + [ 90 ° + arctan ( 0.3 / 1.018 ) ] + [ 90 ° + arctan ( 0.3 / 2.446 ) ] − 90 ° = 30 ° + 30 ° + 19.11 ° + 16.42 ° + 6.99 ° = 102.52 ° φ z 2 = − 102.52 ° \begin{aligned} \theta_{p_4}&=180°+\varphi_{z_1p_4}+\varphi_{z_2p_4}-\theta_{p_1p_4}-\theta_{p_2p_4}-\theta_{p_3p_4}-\theta_{p_5p_4}\\\\ &=180°+[-\arctan(1.018/0.3)]+\arctan(2.446/0.3)-[90°+\arctan(0.7/0.714)]\\\\&-\arctan(0.714/3.3)-\arctan(0.714/5.3)-90°\\\\ &=-73.58°+83.01°-44.43°-12.21°-7.67°=-54.88°\\\\ \theta_{p_5}&=54.88°\\\\ \varphi_{z_1}&=-180°+\theta_{p_1z_1}+\theta_{p_2z_1}+\theta_{p_3z_1}+\theta_{p_4z_1}+\theta_{p_5z_1}-\varphi_{z_2z_1}\\\\ &=-180°+[90°+\arctan(1/1.732)]+\arctan(1.732/3)+\arctan(1.732/3)\\\\ &+[90°+\arctan(0.3/1.018)]+[90°+\arctan(0.3/2.446)]-90°\\\\ &=30°+30°+19.11°+16.42°+6.99°=102.52°\\\\ \varphi_{z_2}&=-102.52° \end{aligned} θp4θp5φz1φz2=180°+φz1p4+φz2p4−θp1p4−θp2p4−θp3p4−θp5p4=180°+[−arctan(1.018/0.3)]+arctan(2.446/0.3)−[90°+arctan(0.7/0.714)]−arctan(0.714/3.3)−arctan(0.714/5.3)−90°=−73.58°+83.01°−44.43°−12.21°−7.67°=−54.88°=54.88°=−180°+θp1z1+θp2z1+θp3z1+θp4z1+θp5z1−φz2z1=−180°+[90°+arctan(1/1.732)]+arctan(1.732/3)+arctan(1.732/3)+[90°+arctan(0.3/1.018)]+[90°+arctan(0.3/2.446)]−90°=30°+30°+19.11°+16.42°+6.99°=102.52°=−102.52° -
根轨迹与虚轴的交点
由系统的开环传递函数可知，系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = s 5 + 11.4 s 4 + 39 s 3 + ( 43.6 + K ∗ ) s 2 + ( 2 K ∗ + 24 ) s + 4 K ∗ = 0 D(s)=s^5+11.4s^4+39s^3+(43.6+K^*)s^2+(2K^*+24)s+4K^*=0 D(s)=s5+11.4s4+39s3+(43.6+K∗)s2+(2K∗+24)s+4K∗=0
令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，将其代入特征方程：
( j ω ) 5 + 11.4 ( j ω ) 4 + 39 ( j ω ) 3 + ( 43.6 + K ∗ ) ( j ω ) 2 + ( 2 K ∗ + 24 ) ( j ω ) + 4 K ∗ = 0 ({\rm j}\omega)^5+11.4({\rm j}\omega)^4+39({\rm j}\omega)^3+(43.6+K^*)({\rm j}\omega)^2+(2K^*+24)({\rm j}\omega)+4K^*=0 (jω)5+11.4(jω)4+39(jω)3+(43.6+K∗)(jω)2+(2K∗+24)(jω)+4K∗=0
即
{ 11.4 ω 4 − ( 43.6 + K ∗ ) ω 2 + 4 K ∗ = 0 ω 5 − 39 ω 3 + ( 2 K ∗ + 24 ) ω = 0 \begin{cases} &11.4\omega^4-(43.6+K^*)\omega^2+4K^*=0\\\\ &\omega^5-39\omega^3+(2K^*+24)\omega=0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧11.4ω4−(43.6+K∗)ω2+4K∗=0ω5−39ω3+(2K∗+24)ω=0
由于 ω ≠ 0 \omega≠0 ω=0，解得：
{ ω 1 , 2 = ± 1.213 K 1 ∗ = 15.61 ， { ω 3 , 4 = ± 2.151 K 2 ∗ = 67.52 ， { ω 5 , 6 = ± 3.755 K 3 ∗ = 163.55 \begin{cases} &\omega_{1,2}=±1.213\\\\ &K_1^*=15.61 \end{cases}，\begin{cases} &\omega_{3,4}=±2.151\\\\ &K_2^*=67.52 \end{cases}，\begin{cases} &\omega_{5,6}=±3.755\\\\ &K_3^*=163.55 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ω1,2=±1.213K1∗=15.61，⎩ ⎨ ⎧ω3,4=±2.151K2∗=67.52，⎩ ⎨ ⎧ω5,6=±3.755K3∗=163.55
因此，当 0 < K ∗ < 15.61 0<K^*<15.61 0<K∗<15.61或 67.52 < K ∗ < 163.55 67.52<K^*<163.55 67.52<K∗<163.55时，闭环系统稳定. -
概略根轨迹
Example 4.20
已知系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s + 10 ) ( s 2 + 4 s + 5 ) ， K ∗ > 0 G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{(s^2+2s+10)(s^2+4s+5)}，K^*>0 G(s)H(s)=(s2+2s+10)(s2+4s+5)K∗，K∗>0.在没有确认反馈极性时，将系统构成闭环都能稳定运行，确定此时 K ∗ K^* K∗的范围.
解：
系统开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s + 10 ) ( s 2 + 4 s + 5 ) ， K ∗ > 0 G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{(s^2+2s+10)(s^2+4s+5)}，K^*>0 G(s)H(s)=(s2+2s+10)(s2+4s+5)K∗，K∗>0
【系统反馈极性为负】
由系统开环传递函数可知系统闭环特征方程为：
D ( s ) = ( s 2 + 2 s + 10 ) ( s 2 + 4 s + 5 ) + K ∗ = s 4 + 6 s 3 + 23 s 2 + 50 s + 50 + K ∗ = 0 D(s)=(s^2+2s+10)(s^2+4s+5)+K^*=s^4+6s^3+23s^2+50s+50+K^*=0 D(s)=(s2+2s+10)(s2+4s+5)+K∗=s4+6s3+23s2+50s+50+K∗=0
令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，将其代入特征方程可得：
( j ω ) 4 + 6 ( j ω ) 3 + 23 ( j ω ) 2 + 50 ( j ω ) + 50 + K ∗ = 0 ({\rm j}\omega)^4+6({\rm j}\omega)^3+23({\rm j}\omega)^2+50({\rm j}\omega)+50+K^*=0 (jω)4+6(jω)3+23(jω)2+50(jω)+50+K∗=0
即
{ ω 4 − 23 ω 2 + 50 + K ∗ = 0 − 6 ω 3 + 50 ω = 0 ⇒ ω = ± 2.89 ， K ∗ = 72.3 ，其中： ω ≠ 0 \begin{cases} &\omega^4-23\omega^2+50+K^*=0\\\\ &-6\omega^3+50\omega=0 \end{cases}\Rightarrow{\omega}=±2.89，K^*=72.3，其中：\omega≠0 ⎩ ⎨ ⎧ω4−23ω2+50+K∗=0−6ω3+50ω=0⇒ω=±2.89，K∗=72.3，其中：ω=0
【系统反馈极性为正】
由系统开环传递函数可知系统闭环特征方程为：
D ( s ) = ( s 2 + 2 s + 10 ) ( s 2 + 4 s + 5 ) − K ∗ = s 4 + 6 s 3 + 23 s 2 + 50 s + 50 − K ∗ = 0 D(s)=(s^2+2s+10)(s^2+4s+5)-K^*=s^4+6s^3+23s^2+50s+50-K^*=0 D(s)=(s2+2s+10)(s2+4s+5)−K∗=s4+6s3+23s2+50s+50−K∗=0
令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，将其代入特征方程可得：
( j ω ) 4 + 6 ( j ω ) 3 + 23 ( j ω ) 2 + 50 ( j ω ) + 50 − K ∗ = 0 ({\rm j}\omega)^4+6({\rm j}\omega)^3+23({\rm j}\omega)^2+50({\rm j}\omega)+50-K^*=0 (jω)4+6(jω)3+23(jω)2+50(jω)+50−K∗=0
即
{ ω 4 − 23 ω 2 + 50 − K ∗ = 0 − 6 ω 3 + 50 ω = 0 \begin{cases} &\omega^4-23\omega^2+50-K^*=0\\\\ &-6\omega^3+50\omega=0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ω4−23ω2+50−K∗=0−6ω3+50ω=0
此时部分根轨迹布满实轴，其余根轨迹不穿过虚轴，可得临界稳定时参数：
ω = 0 ， K ∗ = 50 \omega=0，K^*=50 ω=0，K∗=50
因此，当系统的反馈极性为负， K ∗ < 72.3 K^*<72.3 K∗<72.3时系统能稳定运行；当系统的反馈极性为正， K ∗ < 50 K^*<50 K∗<50时系统能稳定运行；在没有确认反馈极性时， 0 < K ∗ < 50 0<K^*<50 0<K∗<50闭环系统均可稳定运行.
【系统概略根轨迹图】
