拓扑排序算法

article/2025/10/1 7:53:38

拓扑排序介绍

拓扑排序(Topological Order)是指，将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)进行排序进而得到一个有序的线性序列。

这样说，可能理解起来比较抽象。下面通过简单的例子进行说明！
例如，一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成，并且A依赖于B和D，C依赖于D。现在要制定一个计划，写出A、B、C、D的执行顺序。这时，就可以利用到拓扑排序，它就是用来确定事物发生的顺序的。

在拓扑排序中，如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序结果中B出现在A的后面。

拓扑排序的算法图解

拓扑排序算法的基本步骤：

1. 构造一个队列Q(queue) 和拓扑排序的结果队列T(topological)；
2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q；
3. 当Q还有顶点的时候，执行下面步骤：
3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉)，并放入T(将n加入到结果集中)；
3.2 对n每一个邻接点m(n是起点，m是终点)；
3.2.1 去掉边<n,m>;
3.2.2 如果m没有依赖顶点，则把m放入Q;
注：顶点A没有依赖顶点，是指不存在以A为终点的边。

以上图为例，来对拓扑排序进行演示。

缺少图

第1步：将B和C加入到排序结果中。
    顶点B和顶点C都是没有依赖顶点，因此将C和C加入到结果集T中。假设ABCDEFG按顺序存储，因此先访问B，再访问C。访问B之后，去掉边<B,A>和<B,D>，并将A和D加入到队列Q中。同样的，去掉边<C,F>和<C,G>，并将F和G加入到Q中。
    (01) 将B加入到排序结果中，然后去掉边<B,A>和<B,D>；此时，由于A和D没有依赖顶点，因此并将A和D加入到队列Q中。
    (02) 将C加入到排序结果中，然后去掉边<C,F>和<C,G>；此时，由于F有依赖顶点D，G有依赖顶点A，因此不对F和G进行处理。
第2步：将A,D依次加入到排序结果中。
    第1步访问之后，A,D都是没有依赖顶点的，根据存储顺序，先访问A，然后访问D。访问之后，删除顶点A和顶点D的出边。
第3步：将E,F,G依次加入到排序结果中。

因此访问顺序是：B -> C -> A -> D -> E -> F -> G

扑排序的代码说明

拓扑排序是对有向无向图的排序。下面以邻接表实现的有向图来对拓扑排序进行说明。

1. 基本定义

// 邻接表中表对应的链表的顶点
typedef struct _ENode
{int ivex;                   // 该边所指向的顶点的位置struct _ENode *next_edge;   // 指向下一条弧的指针
}ENode, *PENode;// 邻接表中表的顶点
typedef struct _VNode
{char data;              // 顶点信息ENode *first_edge;      // 指向第一条依附该顶点的弧
}VNode;// 邻接表
typedef struct _LGraph
{int vexnum;             // 图的顶点的数目int edgnum;             // 图的边的数目VNode vexs[MAX];
}LGraph;

(01) LGraph是邻接表对应的结构体。 vexnum是顶点数，edgnum是边数；vexs则是保存顶点信息的一维数组。
(02) VNode是邻接表顶点对应的结构体。 data是顶点所包含的数据，而firstedge是该顶点所包含链表的表头指针。
(03) ENode是邻接表顶点所包含的链表的节点对应的结构体。 ivex是该节点所对应的顶点在vexs中的索引，而nextedge是指向下一个节点的。

2. 拓扑排序

/** 拓扑排序** 参数说明：*     G -- 邻接表表示的有向图* 返回值：*     -1 -- 失败(由于内存不足等原因导致)*      0 -- 成功排序，并输入结果*      1 -- 失败(该有向图是有环的)*/
int topological_sort(LGraph G)
{int i,j;int index = 0;int head = 0;           // 辅助队列的头int rear = 0;           // 辅助队列的尾int *queue;             // 辅组队列int *ins;               // 入度数组char *tops;             // 拓扑排序结果数组，记录每个节点的排序后的序号。int num = G.vexnum;ENode *node;ins  = (int *)malloc(num*sizeof(int));  // 入度数组tops = (char *)malloc(num*sizeof(char));// 拓扑排序结果数组queue = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 辅助队列assert(ins!=NULL && tops!=NULL && queue!=NULL);memset(ins, 0, num*sizeof(int));memset(tops, 0, num*sizeof(char));memset(queue, 0, num*sizeof(int));// 统计每个顶点的入度数for(i = 0; i < num; i++){node = G.vexs[i].first_edge;while (node != NULL){ins[node->ivex]++;node = node->next_edge;}}// 将所有入度为0的顶点入队列for(i = 0; i < num; i ++)if(ins[i] == 0)queue[rear++] = i;          // 入队列while (head != rear)                // 队列非空{j = queue[head++];              // 出队列。j是顶点的序号tops[index++] = G.vexs[j].data; // 将该顶点添加到tops中，tops是排序结果node = G.vexs[j].first_edge;    // 获取以该顶点为起点的出边队列// 将与"node"关联的节点的入度减1；// 若减1之后，该节点的入度为0；则将该节点添加到队列中。while(node != NULL){// 将节点(序号为node->ivex)的入度减1。ins[node->ivex]--;// 若节点的入度为0，则将其"入队列"if( ins[node->ivex] == 0)queue[rear++] = node->ivex;  // 入队列node = node->next_edge;}}if(index != G.vexnum){printf("Graph has a cycle\n");free(queue);free(ins);free(tops);return 1;}// 打印拓扑排序结果printf("== TopSort: ");for(i = 0; i < num; i ++)printf("%c ", tops[i]);printf("\n");free(queue);free(ins);free(tops);return 0;
}

折叠